已知3*3矩阵A=(4,2,2,2,4,2,2,2,4)和B=(1,0,0,0,2,3,0,3,2)求A,B的特征值和特征向量
时间: 2023-10-05 07:11:58 浏览: 58
首先,求矩阵A的特征值和特征向量。
由定义可得,A的特征值λ是满足以下方程的常数:
det(A - λI) = 0
其中,I为3阶单位矩阵。
代入A和I,得到:
|4-λ 2 2 | |1 0 0 |
|2 4-λ 2 | - λ|0 1 0 | = 0
|2 2 4-λ| |0 0 1 |
化简可得:
(4-λ) [(4-λ)^2 - 4] - 2 [(4-λ)2 - 4] + 2 [4 - λ2] = 0
即:
(λ-2)^2 (λ-6) = 0
解得特征值为λ1=2(二重特征值)和λ2=λ3=6(重特征值)。
接下来,对每个特征值求其对应的特征向量。
对于λ1=2,代入(A-2I)x=0,得到:
|2 2 2 | |x1| |0|
|2 2 2 | - 2|x2| = |0|
|2 2 2 | |x3| |0|
化简可得:
x1 + x2 + x3 = 0
因此,特征向量为k1 * (-1, 1, 0)。
对于λ2=λ3=6,代入(A-6I)x=0,得到:
|-2 2 2 | |x1| |0|
|2 -2 2 | - 6|x2| = |0|
|2 2 -2 | |x3| |0|
化简可得:
x1 - x2 - x3 = 0
因此,特征向量为k2 * (1, 1, 1)。
因此,矩阵A的特征值为λ1=2(二重特征值)和λ2=λ3=6(重特征值),对应的特征向量分别为(-1, 1, 0)和(1, 1, 1)。
接下来,求矩阵B的特征值和特征向量。
同样地,代入B和I,得到:
|1-λ 0 0 | |1 0 0 |
|0 2-λ 3 | - λ|0 1 0 | = 0
|0 3 2-λ| |0 0 1 |
化简可得:
(λ-1) [(2-λ)(2-λ) - 9] - 3 [-(2-λ)3] = 0
即:
(λ-1) (λ^2 - 4λ - 1) = 0
解得特征值为λ1=1,λ2=2+sqrt(5),λ3=2-sqrt(5)。
对于λ1=1,代入(B-I)x=0,得到:
|0 0 0 | |x1| |0|
|0 1 -3 | - 1|x2| = |0|
|0 3 1 | |x3| |0|
化简可得:
x2 - 3x3 = 0
因此,特征向量为k1 * (0, 3, 1)。
对于λ2=2+sqrt(5),代入(B-(2+sqrt(5))I)x=0,得到:
|-(1+sqrt(5)) 0 0 | |x1| |0|
|0 -sqrt(5)-2 3 | - (2+sqrt(5))|x2| = |0|
|0 3 -(sqrt(5)-2)| |x3| |0|
化简可得:
(1+sqrt(5)) x1 = (sqrt(5)+2) x2 - 3x3
因此,特征向量为k2 * (sqrt(5)+2, 1, sqrt(5)-2)。
对于λ3=2-sqrt(5),代入(B-(2-sqrt(5))I)x=0,得到:
|-(1-sqrt(5)) 0 0 | |x1| |0|
|0 -sqrt(5)-2 3 | - (2-sqrt(5))|x2| = |0|
|0 3 -(sqrt(5)-2)| |x3| |0|
化简可得:
(1-sqrt(5)) x1 = (sqrt(5)+2) x2 - 3x3
因此,特征向量为k3 * (sqrt(5)+2, -1, -sqrt(5)+2)。
因此,矩阵B的特征值为λ1=1,λ2=2+sqrt(5),λ3=2-sqrt(5),对应的特征向量分别为(0, 3, 1),(sqrt(5)+2, 1, sqrt(5)-2)和(sqrt(5)+2, -1, -sqrt(5)+2)。