Dijkstra算法求第k短路

Dijkstra算法是解决单源最短路径的经典算法，但是它不能直接求解第k短路。下面介绍一种基于Dijkstra算法的求解第k短路的方法——Yen's算法。

Yen's算法基于贪心策略，它通过对原始图进行多次修改来求解第k短路。具体过程如下：

1. 使用Dijkstra算法求解原始图中的最短路和对应的最短距离。

2. 从最短路中删除最后一个节点，得到一个新的路径。

3. 对新的路径进行修剪，去掉与原始图中已有的路径相重复的部分。

4. 将修剪后的路径作为新的起点，并使用Dijkstra算法求解从该起点到所有其他节点的最短路和对应的最短距离。

5. 如果修剪后的路径不存在，则停止算法。否则，将新的最短路加入到优先队列中，并将已有的最短路中最长的路径弹出。

6. 重复步骤2~5，直到找到第k短路或者优先队列为空。

需要注意的是，Yen's算法的时间复杂度与图的规模和k值都有关系，因此在实际应用中需要根据具体情况进行优化。

相关问题

Dijkstra算法求第k短路的时间复杂度

Dijkstra算法用于求最短路径，并不能直接用来求第k短路。但是，Dijkstra算法可以被改进来解决求第k短路的问题。

改进后的Dijkstra算法的时间复杂度是O(m log n + k log n)。其中，m是图中的边数，n是图中的点数，k是所求的第k短路。

dijkstra算法求一个最短路问题

Dijkstra算法是一种用于解决带权重图中的单源最短路径问题的算法，其中权重可以是负数，但不能存在负权重的环。该算法在使用中需要构建一个最短路径树，同时记录每个顶点到源节点的最短距离。

以下是Dijkstra算法的具体步骤：
1. 创建一个空的最短路径树，并将源节点添加进去。同时初始化每个节点的距离值为无穷大，源节点距离为0。
2. 遍历与源节点相连的所有节点，更新这些节点的距离值为与源节点相连边的权重值，并将这些节点添加到最短路径树中。
3. 从未加入最短路径树的节点中选择距离值最小的节点，并将其加入到最短路径树中。
4. 更新新加入节点相连的所有节点的距离值，如果更新后的距离值比原来的小，则更新它们的距离值。
5. 重复执行步骤3和步骤4，直到所有节点都加入到最短路径树中，或者找到了目标节点。

以下是Matlab代码实现Dijkstra算法，其中graph表示输入的邻接矩阵，start_node表示起始节点编号，end_node表示目标节点编号：

function [dist,path] = dijkstra(graph, start_node, end_node)
% 初始化dist和path
num_nodes = size(graph, 1);
dist = inf(num_nodes, 1);
path = zeros(num_nodes, 1);
visited = zeros(num_nodes, 1);

dist(start_node) = 0;
path(start_node) = -1;

% 迭代计算最短路径
for i=1:num_nodes
    % 选择未访问节点中距离最小的节点
    min_dist = inf;
    min_index = -1;
    for j=1:num_nodes
        if ~visited(j) && dist(j) < min_dist
            min_dist = dist(j);
            min_index = j;
        end
    end
    
    % 如果找不到可达节点，则退出
    if min_index == -1
        break;
    end
    
    % 更新dist和path
    visited(min_index) = 1;
    for j=1:num_nodes
        if graph(min_index,j) > 0 && ~visited(j)
            new_dist = dist(min_index) + graph(min_index,j);
            if new_dist < dist(j)
                dist(j) = new_dist;
                path(j) = min_index;
            end
        end
    end
    
    % 如果已经找到目标节点，则退出
    if min_index == end_node
        break;
    end
end

% 构建最短路径
if path(end_node) == 0
    path = [];
else
    path_nodes = [];
    current_node = end_node;
    while current_node ~= -1
        path_nodes = [path_nodes; current_node];
        current_node = path(current_node);
    end
    path = flip(path_nodes)';
end
end