猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个。 第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。 到第n天早上想再吃时,见只剩下一个桃子了。求第一天共摘多少桃子。
时间: 2023-05-31 22:20:01 浏览: 118
### 回答1:
猴子第一天摘下的桃子数量可以用递推公式表示:x(n) = (x(n-1) + 1) * 2; 其中x(n)表示第n天剩余的桃子数量,x(1) = 1; 因为最后只剩1个桃子,所以x(n) = 1; 通过递推公式倒推出x(1) = 2^n - 1。
### 回答2:
运用递推思想,从第n天逆推回第一天。
设第n天早上还剩下x个桃子,则第n-1天晚上剩下的桃子个数为:(x+1)×2
同理可得第n-2天晚上剩下的桃子个数为:((x+1)×2+1)×2
一直推到第一天,设第一天摘下的桃子个数为y,则:
第一天即:y
第二天即:(y+1)×2
第三天即:((y+1)×2+1)×2
第n天即:(......((y+1)×2+1)×2+1)×2+1=x
根据此递推公式可向前推到第一天,化简后得到:
y=(x-1)/2^n+1
代入题目中已知条件,即第n天只剩一个桃子,可得:
(x+1)/2^n=1
x+1=2^n
代入上式,得到:
y=(2^n-1)/2^n+1=2-1/2^n
因此,第一天共摘了2^(n-1)个桃子。
### 回答3:
假设第一天共摘了x个桃子。那么,根据题目描述,猴子第一天吃了x/2 + 1个桃子,剩下的是x/2-1个桃子。设第二天剩下的桃子数量为y,则y=(x/2-1)/2。
根据题目推算,第三天吃掉了(y+1)/2个桃子,也就是(x/2-1)/2/2+1个桃子,剩下的桃子数量为y/2-1。以此类推,n天早上剩下一个桃子时,n-1天早上剩下的桃子数量应该是1个,即:
(y/2-1)/2/2/.../2+1=1
根据等式,求出y后,可以计算出x,即第一天共摘了多少桃子。
使用递推公式y=(x/2-1)/2^(n-2),代入上述等式得到:
(x/2-1)/2^(n-2)/2^(n-3)/.../2+1=1
化简得:
x/2^n = 1/2^n-1+...+1/2+1
由等比数列求和公式得:
x/2^n = (1 - 1/2^(n-1))/(1 - 1/2)
化简得:
x = 2^n - 2,即第一天共摘了2^n-2个桃子。
因此,如果猴子在第n天早上发现只剩下一个桃子,那么第一天共摘了2^n-2个桃子。
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