一个常用的股票价格变化数学模型可以用以下差分方程表示： x n ​ =x n−1 ​ +Δtμx n−1 ​ +σx n−1 ​ Δt ​ r n−1 ​ (1) 其中 x n ​ 是 t n ​ 时刻的股票价格，Δt 是两个时间之间的间隔（Δt＝t n ​ －t n－1 ​ ），μ 是股票价格的增长率，σ 是股票价格的波动率，r 0 ​ ,...,r n－1 ​ 是正态分布的随机数（均值为 0，标准差为单位标准差）。股票的初始价格 x 0 ​ 和μ,σ,Δt 都作为输入数据。 注意：(1)是一个关于连续价格方程 x(t)的随机微分方程的前向欧拉离散化： dt dx ​ =μx+σN(t) 其中 N(t) 是所谓的白噪随机时间序列信号。这样的方程在股票价格的模拟中占有中心地位。请你用 Python 实现(1)。假设 n＝0, …, N（N＝5000步），时间 T＝180 天，步长 Δt＝T/N。 请根据提示，在右侧编辑器补充代码，完成函数编写，通过随机游走模拟股票价格，并绘图。 ∙simulate(p0,mu,sigma,T,N)： 参数 p0,mu,sigma 分别对应公式(1)中的x 0 ​ ,μ,σ,T 表示模拟时间(单位为天数)， N 表示模拟步数（此时，公式(1)中步长Δt＝T/N）；函数返回0..N步内（含N）, 每一步股票价格构成的向量； ∙draw_picture(prices)： 绘制股票价格变化趋势图，并保存图片。 要求： 横轴为模拟步数，坐标轴范围为[-100,5200]；纵轴为股票价格，坐标轴范围为[8,29]； 图片大小设为 8*4 (单位为 inch)；

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate(p0, mu, sigma, T, N):
    dt = T / N
    prices = np.zeros(N+1)
    prices[0] = p0
    for i in range(1, N+1):
        r = np.random.normal(0, 1)
        prices[i] = prices[i-1] + dt * mu * prices[i-1] + sigma * np.sqrt(dt) * r * prices[i-1]       
    return prices

def draw_picture(prices):
    steps = np.arange(len(prices))
    plt.figure(figsize=(8, 4))
    plt.plot(steps, prices)
    plt.xlim([-100, 5200])
    plt.ylim([8, 29])
    plt.xlabel('Steps')
    plt.ylabel('Price')
    plt.savefig('stock_price.png')
    plt.show()

使用示例：

p0 = 20
mu = 0.1
sigma = 0.2
T = 180
N = 5000

prices = simulate(p0, mu, sigma, T, N)
draw_picture(prices)