证明如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

证明如下：

设标准形式的线性规划为：

$$
\begin{aligned}
\text{maximize} \quad & c^Tx \\
\text{subject to} \quad & Ax = b \\
& x \geq 0
\end{aligned}
$$

其对偶规划为：

$$
\begin{aligned}
\text{minimize} \quad & b^Ty \\
\text{subject to} \quad & A^Ty \geq c \\
& y \geq 0
\end{aligned}
$$

假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一个基 $B$，使得 $x_B = B^{-1}b \geq 0$，同时 $c^T x$ 达到最大值。

根据互补松弛条件，对偶变量 $y$ 的取值必须满足 $y_i \geq 0$ 且 $A_i^T y = c_i - \sum_{j \in B} B_{ji}y_j$，其中 $i$ 表示第 $i$ 个约束条件。

我们来证明对偶规划存在唯一最优解。假设存在两个最优解 $y$ 和 $y'$，且 $y \neq y'$。

因为 $y$ 和 $y'$ 都是最优解，所以 $b^Ty = b^Ty'$。因为 $y \neq y'$，所以至少存在一个下标 $i$，使得 $y_i > 0$ 且 $y'_i = 0$。

根据互补松弛条件，$A_i^T y \geq c_i$ 且 $A_i^T y' \leq c_i$。因为 $y_i > 0$，所以 $A_i^T y > c_i$。又因为 $y'_i = 0$，所以 $A_i^T y' = 0$。因此，$A_i^T(y - y') > c_i$。

我们可以将 $y$ 和 $y'$ 分别表示为两个基可行解 $y_B$ 和 $y'_B$ 以及它们对应的非基变量 $y_N$ 和 $y'_N$。由于 $y$ 是最优解，所以有：

$$
b^T y = c_B^T B^{-1} b
$$

同理，由于 $y'$ 是最优解，有：

$$
b^T y' = c_B^T B^{-1} b
$$

因此得到 $b^T y = b^T y'$，与之前的假设矛盾。因此，假设不成立，对偶规划必有唯一最优解。