用python 将公式\left\langle\boldsymbol{\varphi}{k}\right\rangle=\left(\left\langle\alpha{k}\right\rangle \mathbf{I}+\sum_{n=1}^{N}\left\langle z_{n k}\right\rangle\left\langle\lambda_{k}\right\rangle \tilde{\boldsymbol{x}}{n} \tilde{\boldsymbol{x}}{n}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}\left(\sum_{n=1}^{N}\left\langle z_{n k}\right\rangle\left\langle\lambda_{k}\right\rangle y_{n} \tilde{\boldsymbol{x}}_{n}\right) ，转换成代码

下面是用Python实现该公式的代码：

import numpy as np

def formula(alpha, z, lambd, x, y, N):
    I = np.identity(len(x[0]))
    sum_z_lambda_x = np.zeros((len(x[0]), len(x[0])))
    sum_z_lambda_y = np.zeros(len(x[0]))
    for n in range(N):
        sum_z_lambda_x += z[n] * lambd * np.dot(np.array([x[n]]).T, np.array([x[n]]))
        sum_z_lambda_y += z[n] * lambd * y[n] * np.array([x[n]])
    phi = np.dot(np.linalg.inv(alpha * I + sum_z_lambda_x), sum_z_lambda_y)
    return phi

相关问题

为了证明 $T$ 是自共轭的，我们需要证明对于所有 $f, g \in L^2[0,1]$，有 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $L^2[0,1]$ 上的内积。 首先，我们有： $$ \begin{aligned} \langle Tf, g \rangle &= \int_0^1 (Tx)(t) g(t) dt \ &= \int_0^1 tx(t) g(t) dt \ &= \int_0^1 t\overline{g(t)} \overline{x(t)} dt \ &= \int_0^1 \overline{Tg}(t) \overline{f(t)} dt \ &= \langle f, Tg \rangle \end{aligned} $$ 其中第二个等式使用了 $T$ 的定义，第三个等式使用了 $f$ 和 $g$ 的复共轭，以及交换了积分顺序，最后一个等式使用了 $T$ 的定义和内积的线性性。 因此，我们得到 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，即 $T$ 是自共轭的。 为了证明 $T$ 是有界的，我们可以利用 Hölder 不等式和 $L^2[0,1]$ 的范数定义： $$ \begin{aligned} |Tx|{L^2[0,1]}^2 &= \int_0^1 |tx(t)|^2 dt \ &\leq \left(\int_0^1 |t|^2 dt\right) \left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right) \ &= \frac{1}{3} |x|{L^2[0,1]}^2 \end{aligned} $$ 因此，$|T| \leq \sqrt{\frac{1}{3}} < \infty$，即 $T$ 是有界的。 综上所述，$T$ 是自共轭的有界线性算子。用中文和数学符号表示

为了证明 $T$ 是自共轭的，我们需要证明对于所有 $f, g \in L^2[0,1]$，有 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $L^2[0,1]$ 上的内积。

首先，我们有：

$$\begin{aligned}
\langle Tf, g \rangle &= \int_0^1 (Tx)(t) g(t) dt \\
&= \int_0^1 tx(t) g(t) dt \\
&= \int_0^1 t\overline{g(t)} \overline{x(t)} dt \\
&= \int_0^1 \overline{Tg}(t) \overline{f(t)} dt \\
&= \langle f, Tg \rangle
\end{aligned}$$

其中第二个等式使用了 $T$ 的定义，第三个等式使用了 $f$ 和 $g$ 的复共轭，以及交换了积分顺序，最后一个等式使用了 $T$ 的定义和内积的线性性。 因此，我们得到 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，即 $T$ 是自共轭的。

为了证明 $T$ 是有界的，我们可以利用 Hölder 不等式和 $L^2[0,1]$ 的范数定义：

$$\begin{aligned}
|Tx|^2_{L^2[0,1]} &= \int_0^1 |tx(t)|^2 dt \\
&\leq \left(\int_0^1 |t|^2 dt\right) \left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right) \\
&= \frac{1}{3} |x|^2_{L^2[0,1]}
\end{aligned}$$

因此，$|T| \leq \sqrt{\frac{1}{3}} < \infty$，即 $T$ 是有界的。 综上所述，$T$ 是自共轭的有界线性算子。

Missing delimiter (. inserted). \left\langle\xi(t)\xi(s)\rangle\right=

这个错误提示是由于在公式中缺少了定界符，导致 LaTeX 编译器无法正确解析公式。在这个公式中，左右两边的尖括号 < 和 > 可以作为定界符，将公式括起来。因此，正确的公式应该是：

\left\langle\xi(t)\xi(s)\right\rangle=?

其中，`\left\langle` 和 `\right\rangle` 分别表示左右尖括号，`\xi(t)` 和 `\xi(s)` 分别表示变量。这个公式的意思是求变量 $\xi(t)$ 和 $\xi(s)$ 的内积。