$$P_{s_1^z = \frac{1}{2}\hbar} = \langle \chi | \frac{1}{2} \hbar \otimes I | \chi \rangle$$$$P_{s_2^z = \frac{1}{2}\hbar} = \langle \chi | I \otimes \frac{1}{2} \hbar | \chi \rangle$$其中,$I$ 表示恒等算符。代入 $| \chi \rangle$ 的表达式,我们有: $$\begin{aligned} P_{s_1^z = \frac{1}{2}\hbar} &= \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 + \left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right|^2 = \frac{2}{3} \\ P_{s_2^z = \frac{1}{2}\hbar} &= \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 + \left| -\frac{1}{2\sqrt{3}} \right|^2 = \frac{7}{12} \end{aligned}$$因此,$s_1^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{2}{3}$,$s_2^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{7}{12}$写成我看得懂的形式
时间: 2023-08-30 12:13:05 浏览: 40
这段话涉及到了量子力学中的概率计算。其中,$P_{s_1^z = \frac{1}{2}\hbar}$ 表示测量粒子 $1$ 自旋在 $z$ 方向上得到值为 $\frac{1}{2}\hbar$ 的概率,$P_{s_2^z = \frac{1}{2}\hbar}$ 同理表示测量粒子 $2$ 自旋在 $z$ 方向上得到值为 $\frac{1}{2}\hbar$ 的概率。式子中的 $| \chi \rangle$ 是一个两粒子态,$\otimes$ 表示张量积,$I$ 表示恒等算符。最后的计算结果是,$s_1^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{2}{3}$,$s_2^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{7}{12}$。
相关问题
$\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}$
这是一个比较经典的题目,可以用反三角函数或者变量代换的方法来解决。
方法一:反三角函数
我们知道,$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$,因此原式可以转化为:
$$
\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx = \left[\arctan x\right]_{-1}^1 = \arctan 1 - \arctan (-1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi
$$
方法二:变量代换
我们可以做一个变量代换,令 $x = \tan t$,则有 $dx = \sec^2 t dt$,原式可以变为:
$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx &= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^2 t}\sec^2 t dt \\
&= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} dt \\
&= \left[t\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$
因此,$\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2} = \pi$ 或者 $\frac{\pi}{2}$。
\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz 的值为
我们可以使用留数定理来计算这个复积分。首先,分母 $z^2+1=0$ 的解为 $z=\pm i$,这两个点都在以原点为圆心、半径为 $2$ 的圆 $|z|=2$ 内部。在这个圆内部,被积函数 $\frac{z}{z^2+1}$ 是一个全纯函数,因此圆内部的积分为 $0$。接下来,我们需要计算圆上的积分,即:
$$\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz=\oint_{|z|=2}^{} \frac{\frac{1}{2z}}{z-\left(-i\right)}-\frac{\frac{1}{2z}}{z-i}dz$$
现在我们可以看出,这个积分是由 $z=i$ 和 $z=-i$ 两个点的留数贡献的。在 $z=i$ 处,分子为 $\frac{1}{2z}$,因此 $z=i$ 处的留数为 $\frac{1}{2i}$;在 $z=-i$ 处,分子为 $-\frac{1}{2z}$,因此 $z=-i$ 处的留数为 $-\frac{1}{2i}$。因此,根据留数定理,圆上的积分值为:
$$\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz=2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{-2i}\right)=\pi$$
因此,原复积分的值为 $\pi$。