计算\oint_{|z=1|}^{} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz

由于积分路径为圆周 $|z|=1$，我们可以将积分路径上的积分转化为积分路径围成的区域内的积分，运用柯西-格林定理：

$$
\oint_{|z|=1} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz = \int_{D} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz
$$

其中 $D$ 是圆周 $|z|=1$ 围成的区域。

我们对被积函数 $\frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} }$ 进行分析，可以看到它在点 $z=-2$ 处有一个一阶极点，因此我们可以尝试运用留数定理。

令 $f(z) = \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} }$，则 $f(z)$ 在 $z=-2$ 处的留数为：

$$
\begin{aligned}
Res(f, -2) &= \lim_{z\to -2} (z+2) f(z) \\
&= \lim_{z\to -2} \frac{e^{z}\bar{z}^{2}}{\bar{z}+2} \\
&= \frac{e^{-2}(-2)^2}{-2+2} \\
&= 2e^{-2}
\end{aligned}
$$

根据留数定理，圆周 $|z|=1$ 围成的区域内的积分为：

$$
\oint_{|z|=1} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz = 2\pi i Res(f, -2) = 2\pi i \cdot 2e^{-2} = 4\pi e^{-2}
$$

因此，原积分的计算结果为 $4\pi e^{-2}$。