设G为n阶有限群，证明∶G中每个元素都满足方程x的n次方等于e

这是一个经典定理，称为Lagrange定理。Lagrange定理的证明如下:

首先，考虑对于群G中的任意元素x，构造一个集合{1,x,x^2,...,x^{n-1}}。这个集合中的元素互不相同，因为如果x^i=x^j，则x^{i-j}=e，从而i=j。同时，这个集合中的元素全部属于G，因为G是一个群，其中的元素满足封闭性、结合性和存在逆元。因此，这个集合是G的一个子集。

接下来，我们证明一个引理: 对于群G的任意子集S，左陪集xS和yS要么完全相同，要么完全不交。这个引理的证明如下:

假设xS和yS交于某个元素z，则z=x*s1=y*s2，其中s1、s2属于S。由此推出，x=y*s2*s1^{-1}，因此x属于左陪集yS。同理可以证明，y属于左陪集xS。因此，xS和yS要么完全相同，要么完全不交。

有了这个引理，我们就可以开始证明Lagrange定理。首先，分割群G中的所有元素为若干个左陪集{x, x^2, ..., x^n}, {y, y^2, ..., y^n}, ...；显然，左陪集的数量最大不会超过n。又因为每个左陪集中的元素个数都是n（这是因为{x,x^2,...,x^n}中的元素相对于群运算来说互相等价，即G中任意一个元素都可以表示成x^i的形式），因此，群G中元素的总数为nk，其中k表示左陪集的数量。

接下来，我们考虑左陪集xS和yS的交集问题。显然，如果它们不相同，那么交集为空；如果它们相同，那么它们就是完全相同的左陪集。因此，G中元素的总数等于左陪集的数量乘以每个左陪集的元素个数，即nk=n|G|。这里，|G|表示群G的元素个数。

因此，我们得出了Lagrange定理: 对于一个有限群G和它的一个子群H，|H|必定是|G|的一个约数。此外，对于G中的任意元素x，都满足x的n次方等于e，其中n是群G的阶。