什么叫质数，如何理解这段代码#include <iostream> using namespace std; // 求最大公约数 int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } int main() { int m, n; cin >> m >> n; if (gcd(m, n) == 1) { cout << "Yes" << endl; } else { cout << "No" << endl; } return 0; }

质数，也叫素数，是指只能被 1 和它本身整除的正整数。比如 2、3、5、7、11 等都是质数，而 4、6、8、9 等都不是质数。

这段代码首先定义了一个 `gcd` 函数，用于求两个数的最大公约数。其中，递归的方式实现了辗转相除法。接下来，在 `main` 函数中，读入两个正整数 `m` 和 `n`，然后调用 `gcd` 函数求它们的最大公约数。如果最大公约数等于 1，那么它们就是互质的，输出 "Yes"；否则输出 "No"。这个程序可以用来判断两个数是否互质。

相关问题

对此代码进行优化#include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 求最大公约数 int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } // 获取所有分母小于等于 n 的最简分数 vector<pair<int, int>> getFractions(int n) { vector<pair<int, int>> res; // 存储最简分数的数组 for (int i = 2; i <= n; i++) { // 枚举分母 i for (int j = 1; j < i; j++) { // 枚举分子 j if (gcd(i, j) == 1) { // 判断是否为最简分数 res.push_back({j, i}); // 存储最简分数 } } } return res; } int main() { int n; while (cin >> n && n != 0 && n<=100) { // 循环读入每个正整数 vector<pair<int, int>> res = getFractions(n); // 求解最简分数 for (auto p : res) { // 遍历最简分数数组 cout << p.first << "/" << p.second << " "; // 输出最简分数 } cout << endl; } return 0; }

对于这段代码，可以进行如下优化：

1. 在判断是否为最简分数时，可以将判断i和j是否互质的操作提取出来，使用一个单独的函数进行判断，可以减少gcd函数的调用次数。

2. 对于每个正整数n，可以使用一个数组存储小于等于n的所有质数，然后在判断i和j是否互质时，只需要判断j是否为n以内的质数即可，因为i已经是n以内的数，只有当j为质数时才有可能是最简分数，因此不需要枚举所有的j。

3. 在输出最简分数时，可以使用字符串流stringstream，将分子和分母转换成字符串后拼接输出，可以避免使用多个输出操作符<<。

优化后的代码如下所示：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <cmath>

using namespace std;

// 判断两个数是否互质
bool isCoprime(int a, int b) {
    return gcd(a, b) == 1;
}

// 获取所有分母小于等于 n 的最简分数
vector<pair<int, int>> getFractions(int n) {
    vector<pair<int, int>> res;  // 存储最简分数的数组 
    vector<int> primes;  // 存储小于等于n的所有质数 
    primes.push_back(2);  // 2是第一个质数 
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        bool isPrime = true;
        for (auto p : primes) {
            if (p > sqrt(i)) {
                break;
            }
            if (i % p == 0) {
                isPrime = false;
                break;
            }
        }
        if (isPrime) {
            primes.push_back(i);
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {  // 枚举分母 i 
        for (auto p : primes) {
            if (p > i) {
                break;
            }
            if (i % p == 0) {
                goto next_i;  // i不是质数，跳过 
            }
        }
        for (int j = 1; j < i; j++) {  // 枚举分子 j 
            if (j > n || !isCoprime(i, j)) {
                continue;
            }
            res.push_back({j, i});  // 存储最简分数
        }
        next_i:
        continue;
    }
    return res;
}

int main() {
    int n;
    while (cin >> n && n != 0 && n <= 100) {  // 循环读入每个正整数
        vector<pair<int, int>> res = getFractions(n);  // 求解最简分数
        for (auto p : res) {  // 遍历最简分数数组
            stringstream ss;
            ss << p.first << "/" << p.second << " ";
            cout << ss.str();  // 输出最简分数
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

经过优化后，代码的可读性和执行效率都得到了提高。

c++分解质因数求最大公因数

C++中分解质因数和求最大公因数是两个不同的概念，但它们都属于数论中的基础问题。下面分别介绍这两个概念及其基本实现方法。

1. 分解质因数：
分解质因数是指将一个正整数表示成若干个质数的乘积形式。通常，我们会从最小的质数2开始尝试除以原数，如果能整除，则这个数就是其中一个质因数，并且将原数除以这个质因数得到新的数，继续用相同的方法分解，直到新的数为1为止。如果不能整除，则尝试下一个质数，直到找到可以整除的质数或者质数大于等于原数的平方根为止。

2. 求最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）：
最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。求最大公因数的一个常用算法是辗转相除法（也称为欧几里得算法）。算法的基本思想是：用较大的数除以较小的数，再用出现的余数（第一余数）去除较小的数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此继续，直到余数为0为止。当余数为0时，最后一个不为0的余数就是这两个数的最大公因数。

下面是C++实现的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

// 分解质因数函数
void factorize(int number) {
    for (int i = 2; i * i <= number; ++i) {
        while (number % i == 0) {
            cout << i << " ";
            number /= i;
        }
    }
    if (number > 1) cout << number; // 如果最后剩下的数大于1，则它本身是质数
    cout << endl;
}

// 辗转相除法求最大公因数函数
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

int main() {
    int num1, num2;
    cout << "请输入两个正整数：" << endl;
    cin >> num1 >> num2;
    cout << "质因数分解结果：" << endl;
    factorize(num1);
    factorize(num2);
    cout << "最大公因数为：" << gcd(num1, num2) << endl;
    return 0;
}