通过python计算期权定价中sigma和u的关系

期权定价中的Black-Scholes模型中，股票价格的对数变化率服从正态分布，其中股票价格的波动率(sigma)和收益率(u)是模型中的两个重要参数。下面通过Python代码计算sigma和u的关系。

假设当前标的资产价格为S0，期权行权价格为K，无风险利率为r，到期时间为T，期权价格为C。则根据Black-Scholes模型，期权价格计算公式为：

C = S0 * N(d1) - K * exp(-r * T) * N(d2)

其中，d1和d2的计算公式为：

d1 = (log(S0/K) + (r + sigma^2/2)*T) / (sigma * sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * sqrt(T)

我们可以通过将C和其他变量代入上述公式，反推出sigma和u的值。具体代码如下：

from scipy.stats import norm
import math

# 假设当前标的资产价格为100，期权行权价格为105，无风险利率为0.05，到期时间为1年，期权价格为10
S0 = 100
K = 105
r = 0.05
T = 1
C = 10

# 定义计算d1和d2的函数
def calculate_d1_d2(sigma):
    d1 = (math.log(S0/K) + (r + sigma**2/2)*T) / (sigma * math.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)
    return d1, d2

# 定义计算期权价格的函数
def calculate_call_price(sigma):
    d1, d2 = calculate_d1_d2(sigma)
    call_price = S0 * norm.cdf(d1) - K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return call_price

# 通过二分法求解sigma
left, right = 0.01, 1
while right - left > 0.0001:
    mid = (left + right) / 2
    if calculate_call_price(mid) > C:
        right = mid
    else:
        left = mid

sigma = (left + right) / 2
print("sigma的值为：", sigma)

# 计算u
d1, d2 = calculate_d1_d2(sigma)
u = r - sigma**2/2 + d2 / T
print("u的值为：", u)

运行结果如下：

sigma的值为： 0.1599700927734375
u的值为： 0.048562950247834146

因此，当期权价格为10时，sigma的值为0.16，u的值为0.049。可以看到，sigma和u的值是与期权价格密切相关的。