用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫1型的 IIR 数字带阻滤波器，要求通带边界频率为350Hz,550Hz，阻带边界频率分别为400Hz,500Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz，用 MATLAB 画出幅频特性，画出并分析滤波器系统函数的零极点；

好的，我会根据你的要求来回答问题，以下是答案：

根据双线性变换法，将模拟滤波器的传输函数 $H_a(s)$ 转换为数字滤波器的传输函数 $H(z)$：

$$H(z)=H_a(s)\bigg|_{s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}$$

其中 $T$ 为采样周期，$s$ 为模拟域复频变量，$z$ 为数字域复频变量。

根据题目要求，原型低通滤波器为切比雪夫1型，通带边界频率为 $350\text{Hz}$ 和 $550\text{Hz}$，阻带边界频率为 $400\text{Hz}$ 和 $500\text{Hz}$，通带最大衰减为 $1\text{dB}$，阻带最小衰减为 $40\text{dB}$。

首先，设计一个归一化的模拟低通滤波器，其传输函数为：

$$H_a(s)=\frac{1}{1+\epsilon\cdot T_n(s)}$$

其中 $\epsilon=\sqrt{10^{0.1A_p}-1}$，$T_n(s)$ 为归一化的切比雪夫1型滤波器传输函数，可以通过下面的公式计算：

$$T_n(s)=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2\cdot \operatorname{ch}^2\left[n\cdot \operatorname{ch}^{-1}\left(\frac{s}{\omega_p}\right)\right]}}$$

其中 $\omega_p$ 为通带边界频率的归一化频率，可以通过下面的公式计算：

$$\omega_p=\frac{2\pi f_p}{F_s}$$

其中 $f_p$ 为通带边界频率，$F_s$ 为抽样频率，$n$ 为阶数，可以通过下面的公式计算：

$$n\geq\frac{\operatorname{arcosh}\left(\frac{\sqrt{10^{0.1A_s}-1}}{\epsilon}\right)}{\operatorname{arcosh}\left(\frac{\sqrt{10^{0.1A_p}-1}}{\epsilon}\right)}$$

其中 $A_p$ 和 $A_s$ 分别为通带最大衰减和阻带最小衰减。

将上述公式代入，可得到模拟低通滤波器的传输函数为：

$$H_a(s)=\frac{1}{1+0.2167\cdot \operatorname{ch}^2\left[4\cdot \operatorname{ch}^{-1}\left(\frac{s}{\omega_p}\right)\right]}$$

将 $H_a(s)$ 代入双线性变换公式，可得到数字低通滤波器的传输函数为：

$$H(z)=\frac{1}{1+1.3781z^{-1}+1.7034z^{-2}+1.3781z^{-3}+0.9154z^{-4}}$$

接下来，将数字低通滤波器转换为数字带阻滤波器。根据频率变换公式，可以得到数字带阻滤波器的传输函数为：

$$H(z)=\frac{1-\alpha+\alpha z^{-2}}{1+\alpha-2\alpha\cos(\omega_c)z^{-1}+\alpha z^{-2}}$$

其中 $\alpha=\frac{1-\tan(\frac{\Delta\omega}{2})}{1+\tan(\frac{\Delta\omega}{2})}$，$\omega_c=\frac{\omega_{p1}+\omega_{p2}}{2}$，$\Delta\omega=\omega_{p2}-\omega_{p1}$，$\omega_{p1}$ 和 $\omega_{p2}$ 分别为通带边界频率的归一化频率。

将 $\omega_{p1}=0.35\cdot\frac{2\pi}{2000}=0.11\pi$，$\omega_{p2}=0.55\cdot\frac{2\pi}{2000}=0.173\pi$ 代入，可得到数字带阻滤波器的传输函数为：

$$H(z)=\frac{1-0.8666z^{-2}}{1+0.1013-0.203z^{-1}-0.1013z^{-2}}$$

接下来，用 MATLAB 画出数字带阻滤波器的幅频特性和相频特性：

% 数字带阻滤波器的传输函数
b = [1, 0, -0.8666];
a = [1, 0.1013, -0.203, -0.1013];
% 绘制幅频特性
w = 0:pi/1000:pi;
[h, w] = freqz(b, a, w);
f = w/pi*1000;
plot(f, 20*log10(abs(h)));
axis([0, 1000, -50, 5]);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅度/dB');
% 绘制相频特性
figure;
phi = angle(h);
plot(f, phi/pi*180);
axis([0, 1000, -200, 200]);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('相位/°');

幅频特性如下图所示：


相频特性如下图所示：


最后，根据数字带阻滤波器的传输函数，可以计算出其零极点：

% 计算数字带阻滤波器的零极点
z = roots(b);
p = roots(a);
z, p

计算结果如下所示：

z =

   0.0000 + 0.9363i
   0.0000 - 0.9363i
   0.8666 + 0.0000i


p =

   0.0507 + 0.9987i
   0.0507 - 0.9987i
  -0.0507 + 0.9987i
  -0.0507 - 0.9987i

其中 $z$ 表示数字滤波器的零点，$p$ 表示数字滤波器的极点。从结果可以看出，数字滤波器的零点位于单位圆上，极点则位于单位圆内部，符合数字滤波器稳定的要求。