Gauss-Seidel 迭代法介绍

Gauss-Seidel 迭代法也是一种求解线性方程组的迭代方法，与 Jacobi 迭代法类似，都是通过不断迭代来逼近方程组的解。不同之处在于，Gauss-Seidel 迭代法每次迭代时使用已经更新过的未知数来计算新的未知数，从而更加快速地收敛至方程组的解。

具体步骤如下：

1. 将方程组写成 x = (D-L)^(-1)Ux + (D-L)^(-1)b 的形式，其中 D、L、U 分别是 A 的对角线、下三角和上三角部分，即 A = D - L - U。

2. 选定一个初值 x0，将其代入上述方程中，得到 x1 = (D-L)^(-1)Ux0 + (D-L)^(-1)b。

3. 接着，将 x1 中已经更新过的未知数代入方程中计算新的未知数，得到 x2 = (D-L)^(-1)Ux1 + (D-L)^(-1)b，以此类推，直到满足一定精度要求或达到最大迭代次数为止。

4. 如果 Gauss-Seidel 迭代法收敛，则迭代得到的解将逐渐逼近方程组的真实解，否则可能会发散或者无法收敛。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的初值和迭代次数，以保证 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性和求解效率。

需要注意的是，Gauss-Seidel 迭代法只有在方程组的系数矩阵 A 是对称正定时才能保证收敛。如果 A 不是对称正定，则可能会发散或者无法收敛。

相关问题

Gauss-seidel迭代法matlab

Gauss-Seidel迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法。假设线性方程组为 Ax=b，其中 A 是一个 n×n 的矩阵，b 是一个 n×1 的列向量，x 是一个 n×1 的列向量。Gauss-Seidel迭代法的基本思想是，利用已知的解的分量来逐步逼近未知的分量，直到得到满足精度要求的解。

以下是使用Matlab实现Gauss-Seidel迭代法的示例代码：

function [x, k] = GaussSeidel(A, b, x0, eps, kmax)
% A: 系数矩阵
% b: 右端向量
% x0: 初值向量
% eps: 精度控制
% kmax: 最大迭代次数
% x: 迭代解
% k: 实际迭代次数

n = length(b);
x = x0;
k = 0;
while k < kmax
    k = k + 1;
    for i = 1:n
        x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
    if norm(A*x-b) < eps
        return
    end
end
warning('Gauss-Seidel方法迭代次数达到上限！');

使用示例：

A = [4 -1 0 0; -1 4 -1 0; 0 -1 4 -1; 0 0 -1 3];
b = [15; 10; 10; 10];
x0 = [0; 0; 0; 0];
eps = 1e-6;
kmax = 1000;

[x, k] = GaussSeidel(A, b, x0, eps, kmax);
fprintf('迭代次数：%d\n', k);
fprintf('解：%s\n', mat2str(x));

Gauss-seidel迭代法matlab程序

以下是使用 MATLAB 实现 Gauss-Seidel 迭代法进行线性方程组求解的示例程序：

function [x, iter] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, maxiter)
% Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 Ax = b
% A: 系数矩阵
% b: 常数矩阵
% x0: 初始解向量
% tol: 容差
% maxiter: 最大迭代次数
% x: 迭代后的解向量
% iter: 实际迭代次数

n = length(b);
x = x0;
iter = 0;
while iter < maxiter
    x_new = x;
    for i = 1:n
        x_new(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x_new(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
    if norm(x_new - x) < tol
        x = x_new;
        return
    end
    x = x_new;
    iter = iter + 1;
end
error('Gauss-Seidel 迭代法没有收敛！');

在这个程序中，我们定义了一个函数 `gauss_seidel`。该函数的输入参数包括系数矩阵 `A`、常数矩阵 `b`、初始解向量 `x0`、容差 `tol` 和最大迭代次数 `maxiter`。函数的输出包括迭代后的解向量 `x` 和实际迭代次数 `iter`。

在函数内部，我们首先初始化迭代解为初始解向量 `x0`，然后进行 `maxiter` 次迭代。在每次迭代中，我们使用 Gauss-Seidel 迭代公式计算新的解向量 `x_new`。如果新的解向量与旧的解向量的差的范数小于容差 `tol`，则认为迭代已经收敛，返回迭代后的解向量 `x`。否则，将新的解向量赋值给旧的解向量，并继续迭代。

需要注意的是，如果 Gauss-Seidel 迭代法没有收敛，则程序将抛出一个错误。在实际使用中，我们应该根据实际情况调整容差和最大迭代次数，以提高迭代收敛的速度和准确性。