实验采用一个边长10厘米的正方体容器，在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴表面温度的变化规律。写详细的求解过程和matlab程序

好的，以下是求解过程和MATLAB程序：

1. 建立数学模型

根据前面所述的偏微分方程和边界条件，建立数学模型描述水滴表面温度随时间的变化规律：

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right)
$$

其中，$T$ 是水滴温度，$r$ 是距离水滴球心的距离，$\alpha$ 是热扩散系数。

初始条件：

$$
T(r,0) = T_w
$$

边界条件：

$$
T(R,t) = T_{sat}
$$

其中，$R$ 是容器的边长，$T_{sat}$ 是饱和水蒸气的温度。

2. 离散化

将空间和时间分别离散化，采用有限差分法。令：

$$
r_i = i \Delta r, \quad i = 0, 1, \cdots, N
$$

$$
t_n = n \Delta t, \quad n = 0, 1, \cdots, M
$$

其中，$\Delta r$ 和 $\Delta t$ 分别是空间和时间步长，$N$ 和 $M$ 分别是空间和时间步数。

使用中心差分法离散化偏微分方程：

$$
\frac{T_{i,n+1}-T_{i,n}}{\Delta t} = \alpha \frac{1}{r_i^2} \left[ \frac{(r_i^2 T'_{i,n})'-(r_i^2 T'_{i-1,n})'}{2 \Delta r} \right]
$$

可以简化为：

$$
T_{i,n+1} = T_{i,n} + \frac{\alpha \Delta t}{r_i^2 \Delta r^2} (r_i^2 T'_{i+1,n}-2r_i^2 T'_{i,n}+r_i^2 T'_{i-1,n})
$$

其中，$T'_{i,n} = \frac{T_{i,n}-T_{i-1,n}}{\Delta r}$。

3. 迭代求解

采用迭代方法求解差分方程：

% 定义参数
alpha = 1.43e-7; % 热扩散系数
T_w = 25; % 初始温度
T_sat = 100; % 饱和水蒸气的温度
L = 0.1; % 容器边长
N = 50; % 空间步数
M = 50000; % 时间步数
dr = L/N; % 空间步长
dt = 0.01; % 时间步长
r = linspace(0, L, N+1); % 空间网格
T = zeros(N+1, M+1); % 温度分布矩阵

% 初始条件
T(:,1) = T_w;

% 边界条件
T(N+1,:) = T_sat;

% 迭代求解
for n = 1:M
    for i = 2:N
        T(i,n+1) = T(i,n) + alpha*dt/(r(i)^2*dr^2)*(r(i)^2*(T(i+1,n)-T(i,n)) - (r(i)^2+r(i-1)^2)/2*(T(i,n)-T(i-1,n)));
    end
end

4. 结果分析

计算水滴完全蒸发的时间：

% 计算水滴完全蒸发的时间
t_f = 0;
for n = 1:M
    if T(N,n) >= T_sat
        t_f = (n-1)*dt;
        break;
    end
end

绘制水滴表面温度随时间的变化曲线：

% 绘制水滴表面温度随时间的变化曲线
t = linspace(0, t_f, M+1);
T_s = T(N,:);
plot(t, T_s);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Surface temperature (℃)');
title('Surface temperature of water droplet');

完整的MATLAB程序如下：

% 定义参数
alpha = 1.43e-7; % 热扩散系数
T_w = 25; % 初始温度
T_sat = 100; % 饱和水蒸气的温度
L = 0.1; % 容器边长
N = 50; % 空间步数
M = 50000; % 时间步数
dr = L/N; % 空间步长
dt = 0.01; % 时间步长
r = linspace(0, L, N+1); % 空间网格
T = zeros(N+1, M+1); % 温度分布矩阵

% 初始条件
T(:,1) = T_w;

% 边界条件
T(N+1,:) = T_sat;

% 迭代求解
for n = 1:M
    for i = 2:N
        T(i,n+1) = T(i,n) + alpha*dt/(r(i)^2*dr^2)*(r(i)^2*(T(i+1,n)-T(i,n)) - (r(i)^2+r(i-1)^2)/2*(T(i,n)-T(i-1