高斯-勒让德积分公式 求4点的高斯-勒让德积分的坐标和权重系数并证明该积分公式的最高代数精度。
时间: 2023-02-21 13:20:20 浏览: 73
答:高斯-勒让德积分公式可以用以下4点坐标和权重系数来表示:(-1,1/6),(0,2/3),(1,1/6),(1/2,1/3),权重系数分别为:1/6,2/3,1/6,1/3。该积分公式的最高代数精度为2,可以用以下方式来证明:对于任意n次多项式f(x),将其分解为n+1阶多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn,则f(x)在[-1,1]上的定积分为:I=a0/2+a1/3+a2/4+...+an/(n+1),由此可以看出,I的最高代数精度为2。
相关问题
matlab寻找高斯-勒让德积分的坐标和权重系数
在MATLAB中,我们可以使用特殊函数库来寻找高斯-勒让德积分的坐标和权重系数。这个特殊函数库称为"Gauss-Legendre Quadrature"。
使用MATLAB进行高斯-勒让德积分,我们需要使用"gausslegendre"函数。该函数有两个参数:积分点的数量和积分区间的上下限。
首先,我们需要以这样的方式调用该函数:
[x, w] = gausslegendre(n, a, b);
其中,n是积分点的数量,a和b是积分区间的上下限。该函数返回两个向量:x包含积分点的坐标,w包含积分点的权重系数。
例如,如果我们想要使用5个积分点在区间[-1, 1]上进行高斯-勒让德积分,我们可以这样调用该函数:
[x, w] = gausslegendre(5, -1, 1);
运行后,x将包含积分点的坐标,w将包含积分点的权重系数。
然后,我们可以使用这些坐标和权重系数进行数值积分计算。假设我们要计算函数f(x)在[-1, 1]上的积分,我们可以如下运用高斯-勒让德积分公式:
integral = sum(w .* f(x));
这样,integral将包含函数f(x)在[-1, 1]上的数值积分结果。
总之,MATLAB中的特殊函数库"Gauss-Legendre Quadrature"提供了寻找高斯-勒让德积分的坐标和权重系数的功能。我们可以利用这些坐标和权重系数进行数值积分计算,以获得函数在给定区间上的积分结果。
高斯-勒让德公式 求积分
高斯-勒让德公式可以用于计算形如 $\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x$ 的积分,其中 $f(x)$ 是一个连续函数。这个公式的形式为:
$$\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$$
其中 $x_i$ 是 $n$ 个勒让德多项式的零点,$w_i$ 是对应的权重。这些零点和权重可以通过求解勒让德多项式的系数来获得。具体来说,对于 $n$ 阶的勒让德多项式 $P_n(x)$,它满足以下递推关系:
$$P_0(x) = 1$$
$$P_1(x) = x$$
$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$
然后将 $P_n(x)$ 的 $n$ 个零点记作 $x_i$,对应的权重 $w_i$ 可以通过以下公式计算:
$$w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}$$
其中 $P_n'(x_i)$ 是 $P_n(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。最终的积分近似值可以通过将 $f(x)$ 在这 $n$ 个零点处的函数值加权求和得到。
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