三.设计一个三阶的系统并展示该系统的零极点分布图

为了设计一个三阶系统，我们可以选择一个具有三个自由参数的传递函数。一个常见的选择是：

$$G(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)}{(s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)}$$

其中 $K$ 是增益，$z_1$ 和 $z_2$ 是零点，$p_1$、$p_2$ 和 $p_3$ 是极点。这个传递函数的阶数为三阶，因为它有三个不同的极点。

现在，我们来展示该系统的零极点分布图。为了画出这个图，我们需要找出传递函数的零点和极点。我们可以把传递函数写成这个形式：

$$G(s) = K \cdot \frac{(s+z_1)}{(s+p_1)} \cdot \frac{(s+z_2)}{(s+p_2)} \cdot \frac{1}{(s+p_3)}$$

这个形式清晰地展示出了传递函数的零点和极点。具体来说，传递函数有两个零点：$z_1$ 和 $z_2$，以及三个极点：$p_1$、$p_2$ 和 $p_3$。

为了画出零极点分布图，我们需要在复平面上标出这些点。极点通常用叉号表示，零点通常用圆圈表示。增益 $K$ 不影响零极点的位置，因此我们可以先不考虑它。

假设我们选择了这些参数：

$$z_1 = 1$$
$$z_2 = -2 + j2$$
$$p_1 = -3$$
$$p_2 = -2$$
$$p_3 = -1 + j$$

现在我们来画出零极点分布图：


这张图展示了传递函数的零点和极点在复平面上的位置。我们可以看到，系统有两个零点和三个极点，它们的位置分别为：

零点：$z_1 = 1$ 和 $z_2 = -2 + j2$
极点：$p_1 = -3$、$p_2 = -2$ 和 $p_3 = -1 + j$