Matter lab应用高斯赛德尔方式求解线性方程

Matter Lab 是一个开源的 JavaScript 库，用于科学计算和数据可视化。它包含了许多数学和科学计算中常用的算法和工具，其中也包括了求解线性方程组的高斯-赛德尔迭代法。

在 Matter Lab 中，可以使用以下代码来求解形如Ax=b的线性方程组：

const { Matrix, LUDecomposition } = require('mathjs')

// 求解Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量
function gaussSeidel(A, b, maxIter = 1000, tol = 1e-6) {
  const n = A.size()[0]
  let x = Matrix.zeros(n, 1)
  let D = Matrix.diag(A.diag())
  let L = Matrix.zeros(n, n)
  let U = Matrix.zeros(n, n)

  // 分解A为D-L-U
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      if (i < j) {
        U.set([i, j], A.get([i, j]))
      } else if (i > j) {
        L.set([i, j], A.get([i, j]))
      }
    }
  }

  // 迭代求解
  for (let iter = 0; iter < maxIter; iter++) {
    let x0 = x.clone()
    for (let i = 0; i < n; i++) {
      let sum1 = 0
      let sum2 = 0
      for (let j = 0; j < i; j++) {
        sum1 += L.get([i, j]) * x.get([j, 0])
      }
      for (let j = i + 1; j < n; j++) {
        sum2 += U.get([i, j]) * x0.get([j, 0])
      }
      x.set([i, 0], (b.get([i, 0]) - sum1 - sum2) / D.get([i, i]))
    }
    if (x0.sub(x).norm() < tol) {
      break
    }
  }
  return x
}

// 示例
const A = Matrix([
  [4, -1, 0],
  [-1, 4, -1],
  [0, -1, 4]
])
const b = Matrix([[1], [0], [1]])
const x = gaussSeidel(A, b)
console.log(x.toString())

在上面的代码中，我们使用了 mathjs 库中的 Matrix 类来表示矩阵，并使用 LUDecomposition 类来进行矩阵分解。具体来说，我们首先将系数矩阵A分解为D-L-U的形式，然后根据高斯-赛德尔迭代公式进行迭代求解。当两次迭代的解之差小于给定的容差tol时，迭代停止并返回解x。

需要注意的是，高斯-赛德尔迭代法并不一定收敛，因此在实际使用中需要进行收敛性的分析，并可能需要使用其他的求解方法。