一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1, 再将第二次的商被8除后余7,最后得到一个商为a. 又知这个自然数被17除余4.所得的商被17除余15, 最后得到一个商是a的2倍. 求这个自然数.
时间: 2024-03-01 16:49:12 浏览: 25
我们设这个自然数为 $x$,那么根据题目中的条件,可以列出以下方程组:
$$
\begin{cases}
x \equiv 1 \pmod 8 \\
\frac{x}{8} \equiv 1 \pmod 8 \\
\frac{x}{8^2} \equiv 7 \pmod 8 \\
x \equiv 4 \pmod {17} \\
\frac{x}{17} \equiv 15 \pmod {17} \\
\frac{x}{17^2} \equiv 2a \pmod {17}
\end{cases}
$$
首先,我们来看第 2 个方程,可以将其化简为 $x \equiv 8 \pmod {64}$。然后,我们来看第 5 个方程,可以将其化简为 $x \equiv 292 \pmod {289}$。
接下来,我们来看第 1 个方程和第 4 个方程,可以将其转化为:
$$
\begin{cases}
x = 8m + 1 \\
x = 17n + 4
\end{cases}
$$
将第一个式子代入第二个式子中,得到 $8m + 1 = 17n + 4$,即 $8m - 17n = 3$。根据扩展欧几里得算法,可以求出 $m_0 = 7$ 和 $n_0 = 3$ 是这个方程的一组特解。
接下来,我们考虑第 3 个方程和第 6 个方程。我们可以将其转化为:
$$
\begin{cases}
x = 8^2 p + 7 \cdot 8 + 1 \\
x = 17^2 q + 15 \cdot 17 \\
x = 17^2 q + 2a \cdot 17
\end{cases}
$$
将第一个式子代入第二个式子和第三个式子中,得到:
$$
\begin{cases}
8^2 p + 7 \cdot 8 + 1 = 17^2 q + 15 \cdot 17 \\
8^2 p + 7 \cdot 8 + 1 = 17^2 q + 2a \cdot 17
\end{cases}
$$
化简后可得:
$$
\begin{cases}
289q - 64p = 43 \\
289q - 136p = 2a - 119
\end{cases}
$$
解这个方程组,我们可以得到 $p = 23$ 和 $q = 33$,进而得到 $x = 1497$。
因此,这个自然数为 $1497$。