给我一个二次型变为标准型的习题

好的，以下是一个将二次型变为标准型的习题：

将二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 - 4x_1x_2 + 5x_2^2 - 2x_2x_3 + 3x_3^2$ 转化为标准型。

解答：

首先，将二次型表示为矩阵的形式：

$$
f(x_1,x_2,x_3) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
$$

然后，对矩阵进行对称化，得到：

$$
A = \frac{1}{2}(A + A^T) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 5 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 \end{bmatrix}
$$

接下来，求出系数矩阵 $A$ 的特征值和特征向量：

$$
\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 & 0 \\ -1 & 5 - \lambda & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 - \lambda \end{vmatrix} = 0
$$

解得特征值为 $\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 0.5$，对应的特征向量分别为：

$$
\boldsymbol{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}
$$

将特征向量单位化，得到：

$$
\boldsymbol{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_3 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}
$$

令 $y_1 = \boldsymbol{u}_1^T\boldsymbol{x}, y_2 = \boldsymbol{u}_2^T\boldsymbol{x}, y_3 = \boldsymbol{u}_3^T\boldsymbol{x}$，得到：

$$
\begin{aligned}
f(x_1,x_2,x_3) &= 2x_1^2 - 4x_1x_2 + 5x_2^2 - 2x_2x_3 + 3x_3^2 \\
&= 5y_1^2 + 3y_2^2 + 0.5y_3^2
\end{aligned}
$$

因此，原二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 转化为标准型 $g(y_1,y_2,y_3) = 5y_1^2 + 3y_2^2 + 0.5y_3^2$。