设计对偶单纯形法的算法，求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值。min 12x1+8x2+16x3+12x4, s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2+4x4>=3, xj>=0,j=1,...,4.

对偶单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法，其基本思想是通过求解原问题的对偶问题来得到原问题的最优解。下面是设计对偶单纯形法的算法，求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值的步骤：

Step 1: 将线性规划问题转化为标准形式。

将目标函数转化为最小化形式，并且将所有约束条件转化为等式形式，引入松弛变量，将所有变量限制为非负数。

min 12x1+8x2+16x3+12x4
s.t. 2x1+x2+4x3+x5=2,
2x1+2x2+4x4+x6=3,
xj>=0, j=1,...,6.

Step 2: 写出对偶问题。

对偶问题的目标函数是原问题的约束条件构成的向量与对应的非负松弛变量构成的向量的点积的最大值。对偶问题的约束条件是原问题的变量的系数构成的向量与对应的非负松弛变量构成的向量的点积不小于原问题中每个变量的系数。

max 2y1+3y2
s.t. 2y1+2y2<=12,
y1+2y2<=8,
4y1+4y2<=16,
y2<=12.

Step 3: 初始化。

将对偶问题的所有变量初始化为0，并且计算出对偶问题的目标函数值。

y1=0, y2=0
z=0

Step 4: 计算原问题的对偶变量。

将对偶问题的约束条件转化为等式形式，通过高斯消元法求解对偶变量。

2y1+2y2=12
y1+2y2=8
4y1+4y2=16
y2=12

得到 y1=2, y2=3。

Step 5: 计算原问题的可行解。

将原问题的约束条件转化为等式形式，通过高斯消元法求解原问题的可行解。

2x1+x2+4x3+x5=2
2x1+2x2+4x4+x6=3

得到 x1=0, x2=0, x3=1/2, x4=0, x5=2, x6=-1。

Step 6: 判断可行性。

如果原问题的可行解中所有变量的值都大于等于0，则这个可行解就是原问题的最优解。否则，转到下一步。

Step 7: 计算原问题的进入变量。

在原问题中，选择一个变量的系数最小的非基变量作为进入变量。

x3 是非基变量，系数为 16。

Step 8: 计算原问题的离开变量。

在原问题中，选择限制最紧的基变量作为离开变量。计算每个约束条件的比值，选择比值最小的约束条件所对应的基变量作为离开变量。

对于第一个约束条件 2x1+x2+4x3+x5=2，x3 是非基变量，系数为 4，所以比值为 2/4=0.5。
对于第二个约束条件 2x1+2x2+4x4+x6=3，x4 是非基变量，系数为 4，所以比值为 3/4=0.75。
所以选择第一个约束条件对应的基变量 x5 作为离开变量。

Step 9: 更新对偶问题和原问题的基变量。

将对偶问题的基变量 y1 和 y2 更新为对偶问题的对偶变量 y1=2 和 y2=3，将原问题的基变量 x5 更新为原问题的进入变量 x3。

Step 10: 转到 Step 4。

重复执行 Step 4 到 Step 9，直到找到原问题的最优解。最终得到原问题的最优解为 x1=0, x2=0, x3=1/2, x4=0，最优目标函数值为 6。