求矩阵[3/2 1/2 1/2
时间: 2023-11-05 21:42:17 浏览: 42
1/2 3/2 1/2
1/2 1/2 3/2]的逆矩阵。
我们可以使用高斯-约旦消元法求解矩阵的逆矩阵。
首先,将原矩阵和单位矩阵拼接在一起,即:
[3/2 1/2 1/2 | 1 0 0]
[1/2 3/2 1/2 | 0 1 0]
[1/2 1/2 3/2 | 0 0 1]
然后进行行变换,将第一行乘以2/3,第二行乘以2/3,第三行乘以2/3,得到:
[1 1/3 1/3 | 2/3 0 0]
[1/3 1 1/3 | 0 2/3 0]
[1/3 1/3 1 | 0 0 2/3]
接着,将第一行减去第二行、第三行,得到:
[1 0 0 | 2/9 -1/9 -1/9]
[1/3 1 1/3 | 0 2/3 0]
[1/3 1/3 1 | 0 0 2/3]
再将第二行减去1/3倍的第一行,第三行减去1/3倍的第一行,得到:
[1 0 0 | 2/9 -1/9 -1/9]
[0 1 1/3 | -2/27 8/27 -2/27]
[0 1/3 1 | -1/27 -1/27 8/27]
最后,将第二行减去1/3倍的第三行,得到:
[1 0 0 | 2/9 -1/9 -1/9]
[0 1 0 | -4/81 26/81 -8/81]
[0 1/3 1 | -1/27 -1/27 8/27]
因此,原矩阵的逆矩阵为:
[2/9 -1/9 -1/9
-4/81 26/81 -8/81
-1/27 -1/27 8/27]
相关问题
r语言矩阵的1/2次方
在R语言中,要计算一个矩阵的1/2次方,可以使用sqrtm函数。sqrtm函数是一个矩阵的平方根函数,它返回输入矩阵的平方根矩阵。在计算1/2次方时,输入矩阵应该是正定矩阵,即对称矩阵所有特征值都大于0。
下面是一个简单的例子,说明如何在R中计算一个矩阵的1/2次方:
```R
# 创建一个3x3的矩阵
A <- matrix(c(4, 2, 1, 2, 5, 3, 1, 3, 6), nrow = 3)
# 计算A的1/2次方
sqrtm(A)
```
上述代码中,我们创建了一个3x3的矩阵A,并使用sqrtm函数计算了A的1/2次方。返回的结果是一个新的矩阵,它是输入矩阵的平方根矩阵。
求矩阵[3/2,1/2,1/2;1/2,3/2,-1/2;1/2,-1/2,3/2]的逆
我们可以使用矩阵的伴随矩阵求解逆矩阵。逆矩阵的公式为:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
其中,$\det(A)$ 为矩阵 $A$ 的行列式,$\text{adj}(A)$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵,定义为矩阵 $A$ 的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵。
首先,计算矩阵 $A$ 的行列式:
$\det(A) = \begin{vmatrix}3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix}$
通过对第一列展开,有:
$\det(A) = 3/2 \begin{vmatrix}3/2 & -1/2 \\ -1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} - 1/2 \begin{vmatrix}1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} + 1/2 \begin{vmatrix}1/2 & 3/2 \\ 1/2 & -1/2 \\\end{vmatrix}$
化简得:
$\det(A) = 9/4 + 1/4 + 1/4 = 11/4$
接下来,计算矩阵 $A$ 的伴随矩阵。首先,计算代数余子式:
$A_{11} = \begin{vmatrix}3/2 & -1/2 \\ -1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} = 7/4$
$A_{12} = -\begin{vmatrix}1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} = 1/2$
$A_{13} = \begin{vmatrix}1/2 & 3/2 \\ 1/2 & -1/2 \\\end{vmatrix} = -1/2$
$A_{21} = -\begin{vmatrix}1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} = -1/2$
$A_{22} = \begin{vmatrix}3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} = 7/4$
$A_{23} = -\begin{vmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \\\end{vmatrix} = -1/2$
$A_{31} = \begin{vmatrix}1/2 & 1/2 \\ 3/2 & -1/2 \\\end{vmatrix} = -1/2$
$A_{32} = -\begin{vmatrix}3/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \\\end{vmatrix} = -1/2$
$A_{33} = \begin{vmatrix}3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2 \\\end{vmatrix} = 7/4$
然后,将代数余子式组成的矩阵转置得到伴随矩阵:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}7/4 & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 7/4 & -1/2 \\ -1/2 & -1/2 & 7/4 \\\end{bmatrix}$
最后,代入逆矩阵的公式,得到:
$A^{-1} = \frac{1}{11/4} \begin{bmatrix}7/4 & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 7/4 & -1/2 \\ -1/2 & -1/2 & 7/4 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3/11 & -1/11 & -1/11 \\ -1/11 & 3/11 & -1/11 \\ -1/11 & -1/11 & 3/11 \\\end{bmatrix}$
因此,矩阵 $A$ 的逆矩阵为 $\begin{bmatrix}3/11 & -1/11 & -1/11 \\ -1/11 & 3/11 & -1/11 \\ -1/11 & -1/11 & 3/11 \\\end{bmatrix}$。