求解出n以内(包含n)所有能被5整除的正整数数的乘积s。
时间: 2023-11-18 14:02:35 浏览: 112
首先,我们可以列出所有能被5整除的正整数:
$$5, 10, 15, 20, \dots, n-5, n$$
我们可以发现,每一项都可以写成$5\times k$的形式,其中$k$为一个正整数。因此,题目所求的乘积可以写成:
$$s = 5\times 10\times 15\times 20 \times \dots \times (n-5)\times n$$
接下来,我们可以对每一项进行因式分解:
\begin{aligned} s &= 5\times 10\times 15\times 20 \times \dots \times (n-5)\times n \\ &= 5\times (2\times 5)\times (3\times 5)\times (2^2\times 5)\times \dots \times ((n-5)/5\times 5)\times (n/5\times 5) \\ &= 2^{k_1}\times 3^{k_2}\times 5^{k_3}\times \dots \times 5^{k_{n/5-1}}\times 5^{k_{n/5}} \\ &= 2^{k_1}\times 3^{k_2}\times 5^{\sum_{i=1}^{n/5}k_i} \end{aligned}
其中,$k_i$表示第$i$个能被5整除的正整数中5的个数。因为每个能被5整除的正整数都可以写成$5\times k$的形式,而$k$中不包含因子5,所以$k_i$就是第$i$个数中因子5的个数。
接下来,我们可以计算$k_1$和$k_2$:
\begin{aligned} k_1 &= \lfloor\frac{n}{10}\rfloor \\ k_2 &= \lfloor\frac{n}{15}\rfloor \end{aligned}
因为能被5整除的正整数中每隔5个数就会出现一个能被15整除的数,所以$k_2$比$k_1$少。接下来,我们可以计算$k_3$到$k_{n/5}$:
\begin{aligned} k_3 &= \lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor \\ k_4 &= \lfloor\frac{n}{5^3}\rfloor \\ &\dots \\ k_{n/5} &= \lfloor\frac{n}{5^{n/5}}\rfloor \end{aligned}
因为$n$是有限的,所以$k_i$的值也是有限的,我们可以用循环计算出它们的值,并将它们累加起来,得到:
$$\sum_{i=1}^{n/5}k_i = \lfloor\frac{n}{5}\rfloor + \lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor + \lfloor\frac{n}{5^3}\rfloor + \dots + \lfloor\frac{n}{5^{n/5}}\rfloor$$
最后,我们就可以计算出$s$的值:
$$s = 2^{\lfloor\frac{n}{10}\rfloor}\times 3^{\lfloor\frac{n}{15}\rfloor}\times 5^{\lfloor\frac{n}{5}\rfloor + \lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor + \lfloor\frac{n}{5^3}\rfloor + \dots + \lfloor\frac{n}{5^{n/5}}\rfloor}$$
因此,我们就求解出了题目所求的答案。
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