1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想“任一大于2的整数都可写成三个质数之和”。常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴

### 回答1：
1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想“任一大于2的整数都可写成三个质数之和”。常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，并称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

### 回答2：
哥德巴赫猜想是数论领域中的一个经典问题，至今仍未被完全证明。这个猜想的核心是：对于任何一个大于2的偶数N，可以表示为两个素数之和。欧拉的版本并没有给出完整的证明，但是一些特殊的情况已经被证明了。

哥德巴赫猜想的重要性在于它有广泛的应用，例如在密码学和计算机安全领域中有应用。如果哥德巴赫猜想被证明，则可以用来生成随机的加密密钥，从而更加安全地保护网络数据。

关于哥德巴赫猜想的证明，有许多数学家试图证明它，但都没有成功。其中最著名的尝试是Vinogradov对哥德巴赫猜想的证明，他利用了数学分析和高级数论中的一些技巧，但是证明过程非常复杂，仍然有一些缺陷。目前，仍然没有一种方法可以证明这个猜想。

虽然哥德巴赫猜想仍未被证明，但是有一些关于素数的定理已经被证明。比如素数分布的性质，素数的奇妙性质等。这些定理对于研究哥德巴赫猜想提供了一些线索，使得数学家们继续为证明这一经典问题而努力。

### 回答3：
哥德巴赫猜想是由德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在1742年提出的，他认为任何大于2的偶数都可以表示为三个质数之和。但哥德巴赫并没有给出任何证明。随后，欧拉对这个猜想进行了修改，将三个质数的形式改为两个素数的形式，并推广到了所有大于2的偶数。因此这个经典的猜想也被称为强哥德巴赫猜想。

在之后的几个世纪里，许多数学家都尝试过证明这个猜想，但是都没有成功。哥德巴赫猜想成为了数学界的一道难题。直到20世纪初，英国数学家哈代提出了新的思路，并称之为"解析数论"。该方法采用的是解析函数和调和分析的方法，以求证哥德巴赫猜想，但是一直没有得到完满的证明。

近年来，数学界对哥德巴赫猜想的研究取得了重要进展。2009年，一位美国数学家格林和他的学生塔奇科夫证明，任何一个大于等于10¹⁸的偶数都是三个质数的和。并且，他们还证明了一个更为一般性的结论，即“任何一个大于等于7的奇数都是三个质数之和”。但是格林和塔奇科夫的方法并不适用于小于10¹⁸的偶数。

目前，哥德巴赫猜想仍然是数学界的未解之谜。虽然初步的进展已经被取得，但仍然需要更多优秀的数学家解决这个问题。这也体现了数学领域中的经典难题，激励着更多人探索更丰富的数学世界。