一个滑模控制器滑模面是s=ce,e是位移的导数，位移，位移的积分组成的三维列向量，证明这个滑模控制器中e最终能到达原点

假设滑模面为$s=c\begin{bmatrix}e & \dot{e} & \int e dt\end{bmatrix}^T$，其中$c$为常数。

考虑系统的Lyapunov函数$V=\frac{1}{2}s^Ts$，其时间导数为：

$\dot{V}=s^T\dot{s}=s^T\begin{bmatrix}\dot{e} & \ddot{e} & e\end{bmatrix}^T$

由于滑模控制器的控制律为$u=-ksgn(s)$，其中$k$为正常数，因此有：

$\dot{e}=-ksgn(s)$

$\ddot{e}=-k\frac{d}{dt}sgn(s)=-k\delta(s)$

其中$\delta(s)$为Dirac Delta函数。

将上式代入$\dot{V}$中，得到：

$\dot{V}=-kse-kc^2e^2\delta(s)$

由于$\delta(s)$是非负的，因此$\dot{V}$的第二项一定是非正的。进一步地，由于$\dot{V}$是负半定的，因此$s$一定会趋近于原点。由于$s$的第一维是$e$，因此$e$最终会趋近于零，即滑模控制器中$e$最终能到达原点。