8. 已知完全二叉树的第 7 层有 20 个叶结点,则该二叉树最多有( )个结点。 A.83 B.147 C.214 D.215
时间: 2024-03-31 17:38:08 浏览: 30
在完全二叉树中,第 $k$ 层最多有 $2^{k-1}$ 个结点,且第 $k$ 层的结点都与满二叉树中编号为 $1$ 至 $2^k-1$ 的结点一一对应。因此,第 7 层有 $2^6=64$ 个结点,其中最多有 $20$ 个叶结点,说明这棵完全二叉树的第 $7$ 层不是满的,而第 $8$ 层的结点都是叶结点。因此,该完全二叉树最多有 $64+2\times 20=104$ 个结点,选项 $A$、$B$、$C$ 都不符合,正确答案为 $\textbf{(D)} 215$。
相关问题
已知一棵完全二叉树的第六层有8个叶结点则该完全二叉树的结点个数最多是多少 最少是多少
完全二叉树的第 $k$ 层有 $2^{k-1}$ 个节点,叶子节点只存在于最后几层,因此我们可以得出以下结论:
* 第 $h$ 层到第 $n$ 层共有 $2^{n-h+1}-1$ 个节点。
* 第 $n$ 层最多有 $2^{n-1}$ 个节点。
因为这是一棵完全二叉树,所以第 $6$ 层共有 $2^{6-1}=32$ 个节点,其中有 $8$ 个叶子节点。
最少的情况发生在第 $6$ 层恰好只有 $8$ 个叶子节点,而其他层都是满二叉树的情况,这样总节点数为 $1+2+4+8+16+32=63$。
最多的情况发生在第 $6$ 层有 $8$ 个叶子节点,并且其他层都是满二叉树的情况,这样总节点数为 $1+2+4+8+16+32+64=127$。
因此,该完全二叉树的结点个数最多是 $127$,最少是 $63$。
已知完全二叉树的第七层有10 个叶子结点,则整个二叉树的结点数最多是多少,最少是多少?
对于一个完全二叉树,设其深度为h,则第i层最多有$2^{i-1}$个结点。又因为该完全二叉树的第7层有10个叶子结点,则第6层有$10\times 2=20$个结点,第5层有$20\times 2=40$个结点,依此类推,得到:
第4层有$40\times 2=80$个结点
第3层有$80\times 2=160$个结点
第2层有$160\times 2=320$个结点
第1层有$320\times 2=640$个结点
因此,该完全二叉树的结点数最多为$1+2+4+\cdots+2^{h-1}=2^h-1=1023$个。
另一方面,该完全二叉树的叶子结点数为$10\times 2^{7-1}=320$个,由于每个非叶子结点最多有两个子结点,所以该完全二叉树的结点数最少为$320+(320-1)=639$个。
因此,整个二叉树的结点数最多是1023个,最少是639个。
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