1、给定一个背包，其容量是10千克，5件物品，其重量分别是4，6，3，5，8公斤；其价值分别是：9，3，6，13，15元，试根据动态规划算法给出0-1背包问题的最优解以及相应的求解过程。

0-1背包问题是指在可装载重量有限的背包中，选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。

根据动态规划算法，可以使用一个二维数组dp[i][j]表示前i件物品装入容量为j的背包中可以获得的最大价值。其中，i表示前i件物品，j表示背包容量。则状态转移方程为：

- 当物品i的重量大于背包容量j时，不装入背包，dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 当物品i的重量小于等于背包容量j时，有两种情况：
- 不装入背包，dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 装入背包，dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]为第i件物品的重量，v[i]为第i件物品的价值

最终的最优解为dp[5][10]，即前5件物品装入容量为10的背包中可以获得的最大价值。具体求解过程如下：

1. 初始化dp数组，当i=0或j=0时，dp[i][j]=0。

| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :-----: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 0/0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

2. 对于每个物品i，依次更新dp数组。当i=1时，有：

| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :-----: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 0/0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1/4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |

当i=2时，有：

| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :-----: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 0/0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1/4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 2/6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |

当i=3时，有：

| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :-----: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 0/0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1/4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 2/6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 3/3 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 21 | 21 |

当i=4时，有：

| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :-----: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 0/0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1/4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 2/6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 3/3 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 21 | 21 |
| 4/5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 13 | 15 | 15 | 24 | 24 | 24 |

当i=5时，有：

| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :-----: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 0/0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1/4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 2/6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 3/3 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 9 | 15 | 15 | 15 | 21 | 21 |
| 4/5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 13 | 15 | 15 | 24 | 24 | 24 |
| 5/8 | 0 | 0 | 0 | 6 | 9 | 13 | 15 | 15 | 24 | 27 | 27 |

因此，最优解为dp[5][10]=27，即前5件物品装入容量为10的背包中可以获得的最大价值为27元。