用matlab求解拉盖尔高斯的偶极势
时间: 2023-05-25 18:02:38 浏览: 47
拉格朗日量为:
$L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - \frac{q}{r}\Phi + \frac{q}{2}(E_x x + E_y y + E_z z)$
其中,$\Phi$ 是电势,$E$ 是外加电场强度,$r$ 是距离 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
根据高斯定理,电势满足以下方程:
$\nabla^2\Phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$
其中,$\rho$ 是电荷密度,$\epsilon_0$ 是真空介电常数。
考虑偶极近似,电荷密度可以表示为:
$\rho = q\delta(x)\delta(y)\delta(z)-f\,\delta(x)\delta(y)\delta(z)$
其中,第一项是正电荷偶极子,第二项是负电荷偶极子。
代入电势方程,并利用多极展开,保留偶极项,可得:
$\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\Phi}{\partial r})$$= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r}(V_1\frac{q}{r}))$$= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(qV_1(\frac{1}{r^2}-\frac{2}{r^3}))$$= \frac{q}{\epsilon_0}\delta(x)\delta(y)\delta(z)(\frac{1}{r^2}-\frac{3z^2}{r^4})$
其中,$V_1$ 是分子在 $r$ 处的势,即:
$V_1 = -\frac{1}{\epsilon_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial z}(\frac{f}{r^3})dz = \frac{f}{2\epsilon_0r^3}$
因此,$\Phi$ 的偶极项可以表示为:
$\Phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r}(1+\frac{a^2}{2r^2}-\frac{3z^2}{2r^2})E_x+\frac{q}{4\pi\epsilon_0r}(1+\frac{a^2}{2r^2}-\frac{3z^2}{2r^2})E_y+\frac{q}{4\pi\epsilon_0r}(1+\frac{a^2}{2r^2}+\frac{3z^2}{r^2})E_z$
其中,$a$ 是偶极距离。
因此,偶极势为:
$\Phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r}(1+\frac{a^2}{2r^2}-\frac{3z^2}{2r^2})\cos\theta$
其中,$\theta$ 是极角。
使用 Matlab,可以通过以下程序求解:
% 先定义函数 r 和 theta
syms r theta
assume([r theta],'real')
% 定义常数
q = 1;
a = 2;
E = [1 2 3];
eps0 = 8.854e-12;
% 计算电势
Phi = (q/(4*pi*eps0*r))*((1+a^2/(2*r^2)-3*z^2/(2*r^2))*cos(theta)*E(1) + (1+a^2/(2*r^2)-3*z^2/(2*r^2))*sin(theta)*E(2) + (1+a^2/(2*r^2)+3*z^2/r^2)*E(3));
% 计算拉普拉斯算子
L = laplacian(Phi,[r,theta]);
% 化简表达式
Phi = simplify(Phi)
L = simplify(L)