给定两个字符串 X= (B,A,C,A,B,D,D)和Y=(C,B,D,C,B,D),试用动态规 划算法求出这两个字符串的最长公共子序列,要求给出递推关系并列表计 算。
时间: 2023-09-27 12:05:44 浏览: 29
好的,根据动态规划的思想,我们可以定义一个二维数组 $dp[i][j]$,表示字符串 $X$ 的前 $i$ 个字符和字符串 $Y$ 的前 $j$ 个字符的最长公共子序列的长度。因此,我们需要求的就是 $dp[m][n]$,其中 $m$ 和 $n$ 分别为字符串 $X$ 和 $Y$ 的长度。
接下来,我们考虑如何进行递推。对于 $dp[i][j]$,我们可以分为两种情况来考虑:
1. 字符串 $X$ 的第 $i$ 个字符和字符串 $Y$ 的第 $j$ 个字符相等,即 $X[i] = Y[j]$。此时,$X$ 和 $Y$ 的最长公共子序列中就一定包含字符 $X[i]$(或者 $Y[j]$),因此 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1$。
2. 字符串 $X$ 的第 $i$ 个字符和字符串 $Y$ 的第 $j$ 个字符不相等,即 $X[i] \neq Y[j]$。此时,$X$ 和 $Y$ 的最长公共子序列中就一定不包含字符 $X[i]$(或者 $Y[j]$),因此 $dp[i][j]$ 应该等于 $dp[i-1][j]$ 和 $dp[i][j-1]$ 中的最大值,即 $dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])$。
综上所述,递推关系可以表示为:
$$
dp[i][j] = \begin{cases}
dp[i-1][j-1] + 1, & X[i] = Y[j] \\
\max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), & X[i] \neq Y[j]
\end{cases}
$$
接下来,我们可以根据这个递推关系来填充 $dp$ 数组。具体地,我们可以使用一个双重循环来遍历 $dp$ 数组,其中 $i$ 的范围是 $1$ 到 $m$,$j$ 的范围是 $1$ 到 $n$。在循环中,我们首先判断 $X[i]$ 是否等于 $Y[j]$,如果相等就使用第一种情况的递推关系进行计算,否则就使用第二种情况的递推关系进行计算。最后,$dp[m][n]$ 就是字符串 $X$ 和 $Y$ 的最长公共子序列的长度。
下面是 Python 代码实现: