数字三角形问题 从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用自底向上的方式进行求解。假设数字三角形为一个二维数组 $triangle$，其中 $triangle[i][j]$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数字，从底层开始，定义 $dp[i][j]$ 表示从底层到第 $i$ 行第 $j$ 列的最大路径和，则状态转移方程为：

$$dp[i][j]=triangle[i][j]+\max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])$$

其中，$dp[i+1][j]$ 表示向左走到下一行，$dp[i+1][j+1]$ 表示向右走到下一行，取两者中的最大值再加上当前节点的值，即为从当前节点开始的最大路径和。

最终，$dp[0][0]$ 即为从顶部出发到底层的最大路径和。

相关问题

5、数字三角形问题 从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用自底向上的方式进行求解。具体步骤如下：

1. 定义状态：设 $f(i,j)$ 表示从第 $i$ 行第 $j$ 列出发，到达底层的最大路径和。

2. 状态转移方程：对于第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，它可以从第 $i+1$ 行的第 $j$ 列或者第 $j+1$ 列转移而来，因此有：

$$f(i,j)=\max\{f(i+1,j),f(i+1,j+1)\}+triangle(i,j)$$

其中 $triangle(i,j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素值。

3. 边界条件：底层的元素的路径长度为其本身，即 $f(n,j)=triangle(n,j)$。

4. 最终结果：最大路径和为 $f(1,1)$。

下面是 Python 代码实现：

def maximum_path(triangle):
    n = len(triangle)
    f = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        f[n-1][i] = triangle[n-1][i]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
    return f[0][0]

其中 `triangle` 是一个二维列表，表示数字三角形。

数字三角形问题 ， 从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。

假设数字三角形的每个数值为 `triangle[i][j]`，表示第 `i` 行第 `j` 列的数值。我们可以使用一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从数字三角形的顶部到第 `i` 行第 `j` 列的最大路径和。则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1])

其中，`triangle[i][j]` 表示第 `i` 行第 `j` 列的数值，`dp[i-1][j]` 表示上一行中与第 `i` 行第 `j` 列相邻的左侧数值，`dp[i-1][j-1]` 表示上一行中与第 `i` 行第 `j` 列相邻的右侧数值。因此，我们在计算 `dp[i][j]` 时，需要比较上一行中与第 `i` 行第 `j` 列相邻的两个数值的大小，取其中较大的一个与 `triangle[i][j]` 相加，得到 `dp[i][j]` 的值。

最终的最大路径和即为 `dp[n-1][i]` 中的最大值，其中 `n` 表示数字三角形的行数，`i` 表示最后一行中的任意一个数值。

以下是 Python 代码实现：

triangle = [
    [5],
    [9, 6],
    [4, 6, 8],
    [0, 7, 1, 5],
    [7, 8, 9, 4, 5]
]

n = len(triangle)
dp = [[0] * n for _ in range(n)]

# 初始化第一行
dp[0][0] = triangle[0][0]
for i in range(1, n):
    dp[0][i] = dp[0][i-1] + triangle[0][i]

# 逐行计算最大路径和
for i in range(1, n):
    for j in range(i+1):
        if j == 0:
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle[i][j]
        elif j == i:
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]
        else:
            dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1])

# 输出最大路径和
print(max(dp[n-1]))

这里我们假设数字三角形为一个嵌套列表 `triangle`，并且使用 Python 语言来实现动态规划算法。在代码中，我们首先初始化第一行的最大路径和，然后逐行计算最大路径和，并将结果保存在 `dp` 数组中。最后输出 `dp[n-1]` 中的最大值，即为最大路径和。