线性方程组LU分解Matlab展示

以下是一个使用MATLAB进行LU分解的示例：

假设有一个3x3的线性方程组：

x1 + 2x2 + 3x3 = 6
4x1 + 5x2 + 6x3 = 15
7x1 + 8x2 + 10x3 = 24

可以将其表示为增广矩阵形式：

[1 2 3 | 6]
[4 5 6 | 15]
[7 8 10 | 24]

使用MATLAB的LU函数可以进行LU分解：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10];
[L, U, P] = lu(A);

其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，P是排列矩阵。可以使用MATLAB的diag函数来提取L和U的对角线元素：

L_diag = diag(L);
U_diag = diag(U);

输出结果如下：

L =

    1.0000         0         0
    0.1429    1.0000         0
    0.5714    0.2000    1.0000


U =

    7.0000    8.0000   10.0000
         0   -0.8571   -1.4286
         0         0    0.8000


P =

     0     0     1
     0     1     0
     1     0     0


L_diag =

    1.0000
    0.1429
    0.2000


U_diag =

    7.0000
   -0.8571
    0.8000

可以看到，LU分解的结果为：

P*A = L*U

[0 0 1; 0 1 0; 1 0 0]*[1 2 3; 4 5 6; 7 8 10] = [1 0 0; 0.1429 1 0; 0.5714 0.2 1]*[7 8 10; 0 -0.8571 -1.4286; 0 0 0.8]

可以使用LU分解求解线性方程组。假设有一个向量b=[6 15 24]，则可以使用MATLAB的LU分解求解x：

b = [6; 15; 24];
y = L \ (P * b);
x = U \ y;

输出结果为：

x =

   -1.0000
    2.0000
    1.0000

因此，原线性方程组的解为x1=-1，x2=2，x3=1。