y=arctanx做拉格朗日插值
时间: 2024-05-23 11:13:41 浏览: 17
假设要对函数 $y=\arctan x$ 在区间 $[-1,1]$ 上进行 $n$ 次拉格朗日插值,则需要选取 $n+1$ 个插值节点。我们可以选择在区间 $[-1,1]$ 上等距离地选取 $n+1$ 个节点。
设这 $n+1$ 个节点为 $x_0,x_1,\cdots,x_n$,其中 $x_i=-1+i\cdot \frac{2}{n}$。对于插值节点 $x_i$,相应的函数值为 $y_i=\arctan x_i$。
根据拉格朗日插值的公式,可以得到插值多项式为:
$$
P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i L_i(x)
$$
其中,$L_i(x)$ 是拉格朗日基函数:
$$
L_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
将拉格朗日基函数代入插值多项式中,可以得到:
$$
P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
因此,对于任意 $x\in[-1,1]$,可以通过插值多项式 $P_n(x)$ 得到其近似的函数值 $\hat{y}(x)$:
$$
\hat{y}(x)=P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
这样就得到了 $y=\arctan x$ 在区间 $[-1,1]$ 上的 $n$ 次拉格朗日插值多项式。
相关问题
设函数y=arctanx²,求导数dy/dx
首先,我们可以将函数y=arctanx²写成y=arctan(u), 其中u=x²。然后,使用链式法则来求导数dy/dx。
dy/dx = dy/du * du/dx
dy/du = 1/(1+u²)' = 1/(1+x⁴)
du/dx = 2x
将上述两式带入链式法则公式中,得
dy/dx = dy/du * du/dx = 1/(1+x⁴) * 2x
因此,函数y=arctanx²的导数dy/dx为2x/(1+x⁴)。
已知y=arctanx*x,求dy
好的,我们来求解该函数的导数dy/dx。
首先,可以将y=arctan(x*x)表示为:
y = arctan(x²)
然后,使用求导公式求解dy/dx:
(dy/dx) = d/dx[arctan(x²)]
通过链式法则,可以将其拆分为:
(dy/dx) = (1/(1 + (x²))) * (d/dx[x²])
因为 (d/dx[x²]) = 2x,所以我们可以将其带入上式中得到:
(dy/dx) = (2x/(1 + (x²)))
因此,y=arctan(x*x) 的导数为 (dy/dx) = (2x/(1 + (x²)))。
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