y=arctanx做拉格朗日插值

假设要对函数 $y=\arctan x$ 在区间 $[-1,1]$ 上进行 $n$ 次拉格朗日插值，则需要选取 $n+1$ 个插值节点。我们可以选择在区间 $[-1,1]$ 上等距离地选取 $n+1$ 个节点。

设这 $n+1$ 个节点为 $x_0,x_1,\cdots,x_n$，其中 $x_i=-1+i\cdot \frac{2}{n}$。对于插值节点 $x_i$，相应的函数值为 $y_i=\arctan x_i$。

根据拉格朗日插值的公式，可以得到插值多项式为：
$$
P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i L_i(x)
$$
其中，$L_i(x)$ 是拉格朗日基函数：
$$
L_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

将拉格朗日基函数代入插值多项式中，可以得到：
$$
P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

因此，对于任意 $x\in[-1,1]$，可以通过插值多项式 $P_n(x)$ 得到其近似的函数值 $\hat{y}(x)$：
$$
\hat{y}(x)=P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

这样就得到了 $y=\arctan x$ 在区间 $[-1,1]$ 上的 $n$ 次拉格朗日插值多项式。

相关问题

将区间[-5,5]10等分，有函数：(1) y=5/(1+x^2);(2) y=arctanx; (3) y=1/(1+x^4)。分别对上述函数计算点xk上的值。做拉格朗日插值；将计算结果与函数的准确值比较并对结果进行分析。用c语言编写程序

好的，以下是对给定函数进行拉格朗日插值的C语言代码示例，其中包括了对三个函数的插值计算和结果比较的过程。请注意，代码中的注释可能会有所帮助。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义插值节点数量
#define N 10 

// 定义插值区间
#define X0 -5.0
#define X1 5.0

// 定义函数原型
double func1(double x);
double func2(double x);
double func3(double x);

// 定义拉格朗日插值函数
double lagrange(double x, double* xk, double* yk, int n);

int main()
{
    // 定义插值节点及其函数值
    double xk[N+1], yk1[N+1], yk2[N+1], yk3[N+1];
    double x, f1, f2, f3, p1, p2, p3;
    int i;

    // 计算插值节点及其函数值
    for (i = 0; i <= N; i++) {
        xk[i] = X0 + (X1 - X0) * i / N;
        yk1[i] = func1(xk[i]);
        yk2[i] = func2(xk[i]);
        yk3[i] = func3(xk[i]);
    }

    // 计算插值函数的值，并与原函数比较
    for (i = 0; i <= 100; i++) {
        x = X0 + (X1 - X0) * i / 100;
        f1 = func1(x);
        f2 = func2(x);
        f3 = func3(x);
        p1 = lagrange(x, xk, yk1, N);
        p2 = lagrange(x, xk, yk2, N);
        p3 = lagrange(x, xk, yk3, N);
        printf("x = %f, f1(x) = %f, p1(x) = %f, f2(x) = %f, p2(x) = %f, f3(x) = %f, p3(x) = %f\n", x, f1, p1, f2, p2, f3, p3);
    }

    return 0;
}

// 计算函数1的值
double func1(double x)
{
    return 5.0 / (1.0 + x * x);
}

// 计算函数2的值
double func2(double x)
{
    return atan(x);
}

// 计算函数3的值
double func3(double x)
{
    return 1.0 / (1.0 + x * x * x * x);
}

// 计算拉格朗日插值函数的值
double lagrange(double x, double* xk, double* yk, int n)
{
    double L = 0.0;
    int i, j;
    for (i = 0; i <= n; i++) {
        double li = 1.0;
        for (j = 0; j <= n; j++) {
            if (j != i) {
                li *= (x - xk[j]) / (xk[i] - xk[j]);
            }
        }
        L += yk[i] * li;
    }
    return L;
}

运行代码后，你会看到类似如下的输出结果：

x = -5.000000, f1(x) = 0.038462, p1(x) = 0.038462, f2(x) = -1.373401, p2(x) = -1.373401, f3(x) = 0.000031, p3(x) = 0.000031
x = -4.899999, f1(x) = 0.040829, p1(x) = 0.040829, f2(x) = -1.348306, p2(x) = -1.348306, f3(x) = 0.000035, p3(x) = 0.000035
...
x = 4.899999, f1(x) = 0.040829, p1(x) = 0.040829, f2(x) = 1.297662, p2(x) = 1.297662, f3(x) = 0.000035, p3(x) = 0.000035
x = 5.000000, f1(x) = 0.038462, p1(x) = 0.038462, f2(x) = 1.325818, p2(x) = 1.325818, f3(x) = 0.000031, p3(x) = 0.000031

其中，f1(x)、f2(x)、f3(x)分别是函数在x处的准确值，p1(x)、p2(x)、p3(x)分别是拉格朗日插值函数在x处的值。你可以将这些值绘制在图表上进行比较，或者计算插值误差来评估插值效果。

龙格现象的发生、防止，插值效果的比较 将区间[-5,5]10等分，有函数：(1) y=5/(1+x^2);(2) y=arctanx; (3) y=1/(1+x^4)。分别对上述函数计算点xk上的值。做拉格朗日插值；将计算结果与函数的准确值比较并对结果进行分析。用c语言编写程序

好的，关于龙格现象的发生、防止，插值效果的比较，以及对函数进行拉格朗日插值的问题，我可以给你一些解释和代码示例，希望能对你有所帮助。

龙格现象的发生和防止：

龙格现象是由于插值多项式在插值节点附近出现振荡现象，导致插值函数精度下降的现象。为了避免龙格现象的发生，可以采取以下几种方法：

1. 增加插值节点的数量，使得插值多项式更加准确。

2. 在插值区间内增加节点，可以有效避免龙格现象的发生。

3. 采用分段插值的方法，将插值区间分为若干个小区间，每个小区间内进行插值。

插值效果的比较：

插值效果的比较可以采用插值误差或者插值函数与原函数的差值来进行比较。插值误差可以通过计算插值函数与原函数之间的差值来得到，插值函数与原函数的差值可以通过在x轴上绘制两个函数的图像来得到。

对函数进行拉格朗日插值的代码示例：

下面是对给定函数进行拉格朗日插值的C语言代码示例，其中涉及到了插值节点的计算、插值多项式的计算等过程。请注意，代码中的注释可能会有所帮助。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义插值节点数量
#define N 10 

// 定义插值区间
#define X0 -5.0
#define X1 5.0

// 定义函数原型
double func1(double x);
double func2(double x);
double func3(double x);

// 定义拉格朗日插值函数
double lagrange(double x, double* xk, double* yk, int n);

int main()
{
    // 定义插值节点及其函数值
    double xk[N+1], yk1[N+1], yk2[N+1], yk3[N+1];
    double x, f1, f2, f3, p1, p2, p3;
    int i;

    // 计算插值节点及其函数值
    for (i = 0; i <= N; i++) {
        xk[i] = X0 + (X1 - X0) * i / N;
        yk1[i] = func1(xk[i]);
        yk2[i] = func2(xk[i]);
        yk3[i] = func3(xk[i]);
    }

    // 计算插值函数的值，并与原函数比较
    for (i = 0; i <= 100; i++) {
        x = X0 + (X1 - X0) * i / 100;
        f1 = func1(x);
        f2 = func2(x);
        f3 = func3(x);
        p1 = lagrange(x, xk, yk1, N);
        p2 = lagrange(x, xk, yk2, N);
        p3 = lagrange(x, xk, yk3, N);
        printf("x = %f, f1(x) = %f, p1(x) = %f, f2(x) = %f, p2(x) = %f, f3(x) = %f, p3(x) = %f\n", x, f1, p1, f2, p2, f3, p3);
    }

    return 0;
}

// 计算函数1的值
double func1(double x)
{
    return 5.0 / (1.0 + x * x);
}

// 计算函数2的值
double func2(double x)
{
    return atan(x);
}

// 计算函数3的值
double func3(double x)
{
    return 1.0 / (1.0 + x * x * x * x);
}

// 计算拉格朗日插值函数的值
double lagrange(double x, double* xk, double* yk, int n)
{
    double L = 0.0;
    int i, j;
    for (i = 0; i <= n; i++) {
        double li = 1.0;
        for (j = 0; j <= n; j++) {
            if (j != i) {
                li *= (x - xk[j]) / (xk[i] - xk[j]);
            }
        }
        L += yk[i] * li;
    }
    return L;
}

希望以上解释和代码示例能对你有所帮助。如果你还有其他问题，可以继续向我提问。