∫arctanx*arccos dx

要计算这个积分，我们可以使用分部积分法和换元法。首先，将积分写为两个函数的乘积：∫(arctan(x) * arccos(x)) dx。

我们可以选择令 u = arctan(x) 和 dv = arccos(x) dx。然后，我们求出 du 和 v。

根据分部积分法，积分可以表示为 ∫u dv = uv - ∫v du。

计算 du 和 v：
du = (1/(1+x^2)) dx
v = x * arccos(x) - ∫((x/(1+x^2)) dx

现在我们将这些结果代入积分表达式：
∫(arctan(x) * arccos(x)) dx = (x * arctan(x) - ∫((x/(1+x^2)) dx) * arccos(x) - x * arccos(x) + ∫((x/(1+x^2)) dx)

简化后得到：
∫(arctan(x) * arccos(x)) dx = x * (arctan(x) * arccos(x)) - ∫((x/(1+x^2)) dx) * arccos(x)

再次进行分部积分法，我们计算 ∫((x/(1+x^2)) dx)：
令 u = x 和 dv = (1/(1+x^2)) dx，计算 du 和 v。
du = dx
v = arctan(x)

将结果代入 ∫((x/(1+x^2)) dx)，我们得到：
∫((x/(1+x^2)) dx) = (x * arctan(x)) - ∫(arctan(x)) dx

因此，我们可以将原始积分写为：
∫(arctan(x) * arccos(x)) dx = x * (arctan(x) * arccos(x)) - ((x * arctan(x)) - ∫(arctan(x)) dx) * arccos(x)

最后，我们需要计算 ∫(arctan(x)) dx。这是一个常见的积分，结果为：
∫(arctan(x)) dx = x * arctan(x) - ∫(1/(1+x^2)) dx
= x * arctan(x) - arctan(x)

将其代入前面的式子，得到最终结果：
∫(arctan(x) * arccos(x)) dx = x * (arctan(x) * arccos(x)) - ((x * arctan(x)) - (x * arctan(x) + arctan(x))) * arccos(x)
= x * (arctan(x) * arccos(x)) - (x * arctan(x)) * arccos(x) + (x * arctan(x) + arctan(x)) * arccos(x)
= x * (arctan(x) * arccos(x)) + x * arctan(x) * arccos(x) + arctan(x) * arccos(x)

因此，∫(arctan(x) * arccos(x)) dx = x * (arctan(x) * arccos(x)) + x * arctan(x) * arccos(x) + arctan(x) * arccos(x)。