用Python写$$ \int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx}$$

这个积分比较复杂，需要使用部分积分和换元法结合起来求解。

首先，我们可以对原式进行部分积分，将它转化为一个更简单的积分形式。设 $u = \operatorname{arctan} x$，$dv = e^{2x}\sqrt{e^x-1}dx$，则有：

$$
\begin{aligned}
\int e^{2x}\operatorname{arctan}x\sqrt{e^x-1}dx &= \int u dv \\
&= uv - \int v du \\
&= \operatorname{arctan}x \cdot \frac{2}{3}(e^{2x}-1)\sqrt{e^x-1} - \frac{2}{3}\int \frac{e^{2x}}{(1+x^2)(e^x-1)^{3/2}}dx
\end{aligned}
$$

接下来，我们需要对右侧的积分进行换元。令 $t = \sqrt{e^x-1}$，则有：

$$
\begin{aligned}
\int \frac{e^{2x}}{(1+x^2)(e^x-1)^{3/2}}dx &= \int \frac{\frac{1}{2}e^{2x}}{(e^x-1)(1+x^2)t}dt \\
&= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t(1+t^2)}dt \\
&= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}\right)dt \\
&= \frac{1}{2}\ln|\sqrt{e^x-1}| - \frac{1}{4}\ln|1+x^2| + \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}+x| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}-x|
\end{aligned}
$$

将上式代回原式，即可得到最终结果：

$$
\int e^{2x}\operatorname{arctan}x\sqrt{e^x-1}dx = \operatorname{arctan}x \cdot \frac{2}{3}(e^{2x}-1)\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2}\ln|\sqrt{e^x-1}| + \frac{1}{4}\ln|1+x^2| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}+x| + \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}-x| + C
$$

其中 $C$ 为常数。