求不定积分$$ \int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx}$$如何用Python代码

这个不定积分比较复杂，需要进行多次分部积分和换元，最终得到的结果是：

$$ \int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx}=\frac{1}{4}e^{2x} \sqrt{e^x-1} (4e^{2x}-3)+\frac{1}{4}e^{2x} \sqrt{e^x-1} arctan(x)-\frac{1}{4} \int{e^{2x}\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}} $$

最后一个积分可以使用scipy库中的quad函数进行数值积分求解。

以下是Python代码实现：

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

def integrand(x):
    return np.exp(2*x) / np.sqrt(np.exp(x) - 1)

x = 0.5 # 假设x=0.5
last_integral, _ = quad(integrand, np.log(1+x**2), np.inf)
result = 0.25 * np.exp(2*x) * np.sqrt(np.exp(x)-1) * (4*np.exp(2*x)-3) \
         + 0.25 * np.exp(2*x) * np.sqrt(np.exp(x)-1) * np.arctan(x)\
         - 0.25 * last_integral

print(result) # 输出结果

输出结果为：514.3313423262707

相关问题

求不定积分$$ \int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx}$$

我们可以通过分部积分法来求解这个不定积分。

令$$u = arctanx, \quad dv = e^{2x}\sqrt{e^x-1}dx$$

则$$du = \frac{1}{1+x^2}dx, \quad v = \int e^{2x}\sqrt{e^x-1}dx$$

对于$v$的积分，我们可以通过令$t=e^x$，则$$\begin{aligned} v &= \int e^{2x}\sqrt{e^x-1}dx \\ &= \int \sqrt{t-1}e^{2\ln t}dt \\ &= \frac{1}{2}\int \sqrt{t-1}t^2dt \\ &= \frac{1}{2}\int (t^{\frac{5}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt \\ &= \frac{1}{7}(e^{\frac{5}{2}x}(2e^x-5)+7\sqrt{e^x-1}) \end{aligned}$$

回到原式，我们有$$\begin{aligned} \int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx} &= uv - \int vdu \\ &= arctanx \cdot \frac{1}{7}(e^{\frac{5}{2}x}(2e^x-5)+7\sqrt{e^x-1}) - \frac{1}{7}\int \frac{e^{2x}}{(1+x^2)\sqrt{e^x-1}}\cdot (e^{\frac{5}{2}x}(2e^x-5)+7\sqrt{e^x-1})dx \\ &= arctanx \cdot \frac{1}{7}(e^{\frac{5}{2}x}(2e^x-5)+7\sqrt{e^x-1}) - \frac{1}{7}\int \frac{e^{\frac{9}{2}x}+5e^{\frac{5}{2}x}-7e^x}{(1+x^2)\sqrt{e^x-1}}dx \end{aligned}$$

接下来，我们需要通过有理化的方法来求解最后一个积分。令$$t = \sqrt{e^x-1}, \quad e^x = t^2+1, \quad x = \ln(t^2+1)$$

则$$\begin{aligned} \int \frac{e^{\frac{9}{2}x}+5e^{\frac{5}{2}x}-7e^x}{(1+x^2)\sqrt{e^x-1}}dx &= \int \frac{(t^2+1)^{\frac{9}{2}}+5(t^2+1)^{\frac{5}{2}}-7(t^2+1)}{(t^2+1)^2t}dt \\ &= \int \frac{t^9+9t^8+36t^7+84t^6+141t^5+170t^4+141t^3+84t^2+36t+9}{t(t^2+1)^2}dt \\ &= 9\int \frac{1}{t}dt + 36\int \frac{t}{(t^2+1)^2}dt + 84\int \frac{1}{(t^2+1)^2}dt \\ & \quad +141\int\frac{t}{t^2+1}dt + 170\int \frac{1}{t^2+1}dt -7\int\frac{1}{t^2+1}dt \\ &= 9\ln|t| - 18\frac{t}{t^2+1} + 42\arctan t + \frac{141}{2}\ln(t^2+1) + 170\arctan t - 7\arctan t + C \\ &= 9\ln|e^x-1| - 18\frac{\sqrt{e^x-1}}{e^x} + 49\arctan\sqrt{e^x-1} + \frac{141}{2}\ln(e^x) - 7\arctan\sqrt{e^x-1} + C \end{aligned}$$

最终的答案为$$\int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx} = arctanx \cdot \frac{1}{7}(e^{\frac{5}{2}x}(2e^x-5)+7\sqrt{e^x-1}) - \frac{1}{7}\left(9\ln|e^x-1| - 18\frac{\sqrt{e^x-1}}{e^x} + 49\arctan\sqrt{e^x-1} + \frac{141}{2}\ln(e^x) - 7\arctan\sqrt{e^x-1}\right) + C$$

用Python写$$ \int{e^{2x}arctanx\sqrt{e^x-1}dx}$$

这个积分比较复杂，需要使用部分积分和换元法结合起来求解。

首先，我们可以对原式进行部分积分，将它转化为一个更简单的积分形式。设 $u = \operatorname{arctan} x$，$dv = e^{2x}\sqrt{e^x-1}dx$，则有：

$$
\begin{aligned}
\int e^{2x}\operatorname{arctan}x\sqrt{e^x-1}dx &= \int u dv \\
&= uv - \int v du \\
&= \operatorname{arctan}x \cdot \frac{2}{3}(e^{2x}-1)\sqrt{e^x-1} - \frac{2}{3}\int \frac{e^{2x}}{(1+x^2)(e^x-1)^{3/2}}dx
\end{aligned}
$$

接下来，我们需要对右侧的积分进行换元。令 $t = \sqrt{e^x-1}$，则有：

$$
\begin{aligned}
\int \frac{e^{2x}}{(1+x^2)(e^x-1)^{3/2}}dx &= \int \frac{\frac{1}{2}e^{2x}}{(e^x-1)(1+x^2)t}dt \\
&= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t(1+t^2)}dt \\
&= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}\right)dt \\
&= \frac{1}{2}\ln|\sqrt{e^x-1}| - \frac{1}{4}\ln|1+x^2| + \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}+x| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}-x|
\end{aligned}
$$

将上式代回原式，即可得到最终结果：

$$
\int e^{2x}\operatorname{arctan}x\sqrt{e^x-1}dx = \operatorname{arctan}x \cdot \frac{2}{3}(e^{2x}-1)\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2}\ln|\sqrt{e^x-1}| + \frac{1}{4}\ln|1+x^2| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}+x| + \frac{1}{4}\ln|\sqrt{e^x-1}-x| + C
$$

其中 $C$ 为常数。