2. 在 RSA 公开密钥系统中,若截获了发给一个公开密钥 e=3,n=33 的密文 c=2,请计算明文是什么?

在 RSA 公开密钥系统中，密文 c 和明文 m 的关系是：

c = m^e mod n

其中，e 和 n 是接收方的公开密钥，m 是发送方发送的明文，c 是发送方加密后得到的密文。

根据题意，我们已知公钥 e = 3 和 n = 33，密文 c = 2。因此，我们可以列出如下方程：

2 = m^3 mod 33

为了求解明文 m，我们可以尝试枚举 m 的值，直到找到一个满足方程的 m。由于 n = 33，我们可以考虑从 0 到 32 枚举 m 的值，然后依次计算 m^3 mod 33 的结果，直到找到一个等于 2 的结果。这个过程可以用程序来实现，也可以手动计算。

经过计算，我们可以得到明文 m = 5，因此，原始的明文就是 5。

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2. 在 RSA 公开密钥系统中,若截获了发给一个公开密钥 e=3,n=33 的密文 c=2,请计算明文是什么? （10 分）

在RSA加密中，密文c和明文m的关系为：c = m^e mod n，其中e是公钥中的指数，n是公钥中的模数。

根据题目给出的公钥 e=3, n=33 和密文c=2，我们可以得到：

m = c^d mod n

其中d为私钥，需要通过对公钥进行分解得到。在本题中，n=33=3*11，由于3和11都是质数，因此可以直接使用欧拉函数求出d，即：d = (p-1)(q-1) = 2*10 = 20。

现在我们需要求出2的20次方对33取模的结果。为了避免计算量过大，我们可以使用快速幂算法进行计算，具体步骤如下：

1. 将20转换为二进制数，得到10100。

2. 从右往左遍历二进制数，若当前位为1，则将结果乘以当前底数的幂，否则不做操作。每乘一次后，将底数自乘一次取模，即可得到最终结果。

按照上述步骤，我们可以得到：

2^20 mod 33 = (2^4)^5 mod 33 = 16^5 mod 33 = 16*16*16*16*16 mod 33 = 16

因此，明文m = c^d mod n = 2^20 mod 33 = 16。

所以，明文为16。

在 RSA 公开密钥系统中,若截获了发给一个公开密钥 e=3,n=33 的密文 c=2,请计算明文是什么?

在RSA加密中，密文c和明文m的关系为：c = m^e mod n，其中e和n为接收者的公钥参数。因此，我们需要求解m，即：m = c^(d) mod n，其中d为接收者的私钥参数。

根据RSA算法，私钥参数d可以通过扩展欧几里得算法求解，即：

d ≡ e^(-1) mod φ(n)

其中，φ(n)表示欧拉函数，对于素数p和q，φ(n) = (p - 1) * (q - 1)。

根据给定的公钥参数e=3和n=33，我们可以计算出φ(n) = 20。接下来，我们需要求解e在模φ(n)意义下的逆元d。

根据扩展欧几里得算法，我们可以得到以下的等式：

1 = 7 * 3 - 20 * 1

将上式中的3和20分别代入e和φ(n)的值，得到：

1 = 7 * e - φ(n) * d

将φ(n)代入20，整理得到：

1 = 7 * 3 - 20 * d

移项得到：

20d = 7 * 3 - 1

因此，d = 10。现在我们已经得到了接收者的私钥参数d，接下来可以求解明文m了：

m = c^(d) mod n = 2^(10) mod 33 = 8

因此，明文为8。