在使用RSA的公钥体制中，已截获发送给某用户的密文为c=10，该用户的公钥e=5，n=35，那么明文m=多少？为什么能根据公钥可以破解密文

根据RSA加密算法的公式，密文c = m^e mod n，其中m为明文，e和n为公钥中的参数。将已知的参数代入公式，得到：

10 = m^5 mod 35

为了解出明文m，我们需要对这个同余方程进行求解。首先，我们可以列出35的因数分解式：35 = 5 * 7。因为5和7是质数，所以ϕ(35) = (5-1) * (7-1) = 24。根据欧拉定理，对于任意整数a和ϕ(n)，有a^ϕ(n) ≡ 1 (mod n)，即a的ϕ(n)次幂与1同余。因此，我们可以得到：

m^(5*24+1) ≡ m mod 35

也就是说，对于任意的正整数k，m^(5*24+1+k*24) ≡ m mod 35。因此，我们可以使用扩展欧几里得算法求出5在模24意义下的逆元d，使得5d ≡ 1 (mod 24)。根据扩展欧几里得算法，可以得到d=5。因此，我们可以将5的逆元d代入同余方程，得到：

m ≡ 10^5 mod 35

使用快速幂算法计算10^5 mod 35，可以得到m=15。因此，明文m为15。

这个问题可以被破解是因为RSA是一种基于数论的加密算法，其安全性依赖于大数分解的复杂性。具体来说，RSA加密算法的安全性基于大整数n的质因数分解问题，即给定n，如何找到p和q，使得n=p*q。如果p和q的大小足够大，那么当前的计算能力无法在合理的时间内分解出n的因数，从而保证了RSA算法的安全性。但是，如果攻击者能够获取到RSA的公钥，那么就可以对密文进行解密，因为公钥包含了加密时使用的参数，攻击者可以利用这些参数来进行破解。

相关问题

在使用RSA的公钥体制中，已截获发给某用户的密文为c=10，该用户的公钥pk=29，n=91，明文为多少

使用RSA加密算法，加密公式为：$c \equiv m^e \pmod{n}$，其中$c$为密文，$m$为明文，$e$为公钥中的指数，$n$为公钥中的模数。

已知$c=10$，$pk=29$，$n=91$，需要求解明文$m$。

根据公式，可以列出如下的方程：

$$10 \equiv m^{29} \pmod{91}$$

为了求解$m$，需要先找到一个整数$d$，使得$d$满足以下条件：

$$29d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}$$

其中$\varphi(n)$表示欧拉函数，对于$n=91$，有$\varphi(91)=72$。

通过计算，可以得到：

$$29 \cdot 29 \equiv 1 \pmod{72}$$

因此$d=29$。

接下来，对方程两边同时取29次方，并使用模运算的性质，得到：

$$m^{29 \cdot 29} \equiv m \pmod{91}$$

即：

$$m^{1} \equiv m \pmod{91}$$

因此，可以得到：

$$m^{29 \cdot 29} \equiv 10^{29} \pmod{91}$$

通过不断平方和取模的方式，可以计算出$10^{29} \pmod{91}=10$。

因此，$m=10$。

因此，明文$m$为10。

在使用 RSA 的公体制中已截获发给某用户的密文为 c=10,该用户的公e=5,n-35那么明文m等于多少?为什么能根据公钥可以破解密文?

根据 RSA 加密算法，密文 $c$ 可以通过公式 $c \equiv m^e \pmod n$ 计算得出，其中 $m$ 表示明文，$e$ 和 $n$ 分别为公钥中的参数。

在本题中，已知 $c=10$，$e=5$，$n=35$，我们可以通过反推得到 $m$ 的值。

首先，根据欧拉定理，有 $m^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$，其中 $\phi(n)$ 表示欧拉函数，对于 $n=35$，$\phi(n)=24$。因此，我们可以将公式转化为 $m^{5 \cdot 5} \equiv m^{25} \equiv 10 \pmod{35}$。

接下来，我们可以列举 $m^{25}$ 对 $35$ 取模的结果，直到找到一个值为 $10$ 的结果。具体步骤如下：

$m^{25} \equiv 0 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 1 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 8 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 27 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 18 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 29 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 20 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 11 \pmod{35}$

$m^{25} \equiv 2 \pmod{35}$

根据计算结果，我们可以得出 $m^{25} \equiv 10 \pmod{35}$，即 $m=2$。因此，明文就是 $m=2$。

可以根据公钥破解密文是因为 RSA 加密算法的安全基于大数质因数分解的难度。在公钥中，只包含了 $e$ 和 $n$ 两个参数，而这两个参数可以通过公开的方式传递给任何人。因此，攻击者也可以使用相同的公钥进行加密，但是只有知道私钥才能解密密文。私钥的安全性依赖于大数质因数分解的难度，因此如果私钥泄露，那么攻击者就可以轻松地解密密文。