设通信双方使用RSA公钥密码体制,接收方的公钥是(e,n)=(3,253),接收的密文是c=110,求明文m
时间: 2024-05-22 14:16:02 浏览: 23
根据RSA公钥密码体制的加密过程,密文c = m^e mod n,其中m为明文。
将给定的参数代入公式,得到:
110 = m^3 mod 253
将253分解质因数,得到253 = 11 * 23。
根据模运算的性质,m^3 mod 253 = (m^3 mod 11) * (m^3 mod 23) mod 253。
因为3是比较小的指数,可以通过枚举的方式找到满足条件的m。
首先,计算m^3 mod 11,因为11是质数,根据费马小定理,m^(11-1) mod 11 = 1,即m^10 mod 11 = 1。因此,m^3 mod 11 的取值只有0、1、-1三种情况。
接下来,计算m^3 mod 23。由于23比较大,不能直接用费马小定理。可以采用快速幂算法,将3表示为二进制形式:3 = 2^1 + 2^0,然后进行幂运算:
m^3 mod 23 = m^(2^1) * m^(2^0) mod 23 = (m^2 mod 23) * (m^1 mod 23) mod 23
接着,使用快速幂算法计算m^2 mod 23 和 m^1 mod 23:
m^1 mod 23 = m mod 23
m^2 mod 23 = (m^1)^2 mod 23 = (m mod 23)^2 mod 23
最后,将m^3 mod 253表示为m^3 mod 11和m^3 mod 23的乘积:
m^3 mod 253 = (m^3 mod 11) * (m^3 mod 23) mod 253
根据前面的计算结果,m^3 mod 11的取值只有0、1、-1三种情况,而m^3 mod 23的取值可以通过快速幂算法得到。可以将这两个取值的组合列出来,计算它们的乘积,看看哪个乘积等于110 mod 253。
m^3 mod 11 | m^3 mod 23 | m^3 mod 253
-----------|-------------|-------------
0 | 0 | 0
1 | 1 | 1
-1 | 22 | 157
可以看到,只有m^3 mod 23 = 22时,才有可能满足条件。因此,可以将m^3 mod 23 = 22带入前面的快速幂算法中,计算出m的取值:
m^1 mod 23 = m mod 23
m^2 mod 23 = (m^1)^2 mod 23 = (m mod 23)^2 mod 23
m^4 mod 23 = (m^2)^2 mod 23 = ((m mod 23)^2)^2 mod 23
m^8 mod 23 = (m^4)^2 mod 23 = (((m mod 23)^2)^2)^2 mod 23
m^16 mod 23 = (m^8)^2 mod 23 = ((((m mod 23)^2)^2)^2)^2 mod 23
m^22 mod 23 = (m^16) * (m^4) * (m^2) * (m^0) mod 23 = ((((((m mod 23)^2)^2)^2)^2) * ((m mod 23)^2) * m) mod 23
因此,m^3 mod 23 = 22时,m的取值为:
m = ((((((m mod 23)^2)^2)^2)^2) * ((m mod 23)^2) * m) mod 253
代入m^3 mod 253 = (m^3 mod 11) * (m^3 mod 23) mod 253,可以得到:
110 = (-1) * 22 mod 253
即110 + 253k = -22,解得k = 1,因此:
m = ((((((m mod 23)^2)^2)^2)^2) * ((m mod 23)^2) * m) mod 253 = 153
因此,明文m为153。
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