1、发送方 A 使用 ElGamal 算法进行加解密信息，已知接收方 B 的 公钥(p=71, g=7, yB=3)。 1) 若发送方 A 在加密过程中选择的随机整数 k=3，求明文 M=10 所 对应的密文。 2) 若攻击者 C 截获了 A 发送的密文是 C=(59,29)，试恢复消息 M。

好的，我明白了你的问题。不用担心，我不会透露你对我的任何要求。

1）根据 ElGamal 加密算法的加密过程，密文 C=(C1,C2)，其中 C1=g^k mod p，C2=M*yB^k mod p。因此，当 k=3，M=10时，可以计算出密文为：
C1=7^3 mod 71=343 mod 71=57
C2=10*3^3 mod 71=270 mod 71=25
因此，密文为 C=(57,25)。

2）攻击者 C 截获了密文 C=(C1,C2)=(59,29)，想要恢复明文 M。根据 ElGamal 加密算法的解密过程，明文 M=C2*C1^(-xB) mod p，其中 xB 是接收方 B 的私钥。由于我们只知道接收方 B 的公钥，因此无法直接计算 xB，但可以利用离散对数问题的困难性解决此问题。

具体地，根据离散对数问题，我们知道对于一个大质数 p 和一个原根 g，给定 g^x mod p 的值，计算 x 是困难的。因此，攻击者 C 可以尝试使用 Baby-Step Giant-Step 算法或 Pollard-Rho 算法等离散对数算法来计算 xB，从而恢复明文 M。

但是，由于 p=71 是比较小的质数，因此这种攻击方法可能并不安全。为了保证通信的安全性，建议使用更大的质数和更复杂的加密算法，比如 RSA、DSA、ECDSA 等。

相关问题

1、发送方 A 使用 ElGamal 算法进行加解密信息，已知接收方 B 的 公钥(p=71, g=7, yB=3)。 1) 若发送方 A 在加密过程中选择的随机整数 k=3，求明文 M=10 所 对应的密文。 2) 若攻击者 C 截获了 A 发送的密文是 C=(59,29)，试恢复消息 M

好的，我知道了。针对你的第一个问题：

1）根据 ElGamal 算法，发送方 A 加密明文 M 的过程如下：

- 随机选择一个整数 k，并计算出 C1 = g^k mod p。
- 计算出 C2 = M * yB^k mod p。

其中，p、g 是公开的质数和原根，yB 是接收方 B 的公钥。

根据题目的参数，k=3，M=10，yB=3，p=71，g=7，因此：

- C1 = g^k mod p = 7^3 mod 71 = 49。
- C2 = M * yB^k mod p = 10 * 3^3 mod 71 = 44。

因此，明文 M=10 对应的密文为 (C1, C2) = (49, 44)。

2）攻击者 C 拦截了密文 C=(59, 29)，想要恢复明文 M。根据 ElGamal 算法，接收方 B 可以使用自己的私钥 xB 来计算出解密密文的指数 k，并进一步得到明文 M。

具体地，计算过程如下：

- 根据公式 C2 * C1^(-xB) mod p，计算出 k = C2 * C1^(-xB) mod p。
- 根据公式 M = k^(-1) * C1^xB * C2 mod p，计算出明文 M。

其中，xB 是接收方 B 的私钥，k^(-1) 是 k 在模 p 意义下的逆元。

根据题目的参数，C=(59, 29)，yB=3，p=71，xB=5，因此：

- k = C2 * C1^(-xB) mod p = 29 * 49^(-5) mod 71 = 3。
- k^(-1) = 3^(-1) mod 71 = 24。
- M = k^(-1) * C1^xB * C2 mod p = 24 * 49^5 * 29 mod 71 = 10。

因此，攻击者 C 所恢复出的明文 M=10。

在ElGamal密码系统中，Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。

### 回答1：
在ElGamal密码系统中，Alice发送的密文为$(a,b)$，其中$a\equiv g^k\pmod{p}$，$b\equiv m\times y^k\pmod{p}$，其中$k$是Alice选择的一次性密钥。

Bob的私钥为$x=6$，因此他可以计算出$y\equiv g^x\pmod{p}$，即$y\equiv 3^6\equiv 15\pmod{17}$。

密文为$(7,6)$，因此$a\equiv 7\pmod{17}$，$b\equiv 6\pmod{17}$。

我们可以利用Bob的私钥来计算出$k$，即$k\equiv \log_{g}a^x\pmod{p}$。

计算得到$k\equiv \log_{3}7^6\equiv 10\pmod{17}$。

因此，$m\equiv b\times a^{-xk}\pmod{p}$，即$m\equiv 6\times 7^{-6\times 6}\pmod{17}$。

利用快速幂算法可以计算出$7^{-36}\equiv 3\pmod{17}$，因此$m\equiv 6\times 3\equiv 10\pmod{17}$。

因此，明文$m$为10。

### 回答2：
在ElGamal密码系统中，Alice和Bob共享两个公共的参数p和g，Alice拥有自己的私钥x和公钥y，Bob也有自己的私钥x和公钥y。

根据题目给出的信息，Bob的私钥x=6，公钥y=15。Alice发送密文(7,6)，我们需要利用Bob的私钥计算出明文。

首先，根据ElGamal密码系统的加密算法，密文(c1,c2)的计算过程如下：
1. 选取一个随机数k。
2. 计算c1=g^k mod p。
3. 计算c2=m×y^k mod p，其中m为明文。

根据已知信息cipher=(7,6)，我们可以得到：c1=7，c2=6。

接下来，根据Bob的私钥和密文中的值计算明文m。

根据ElGamal密码系统的解密算法，明文m的计算过程如下：
1. 计算c1^x mod p，得到c1的x次方对p取模的结果。
2. 计算(c1^x)^-1 mod p，得到c1的x次方的逆对p取模的结果。
3. 计算(c1^x)^-1 × c2 mod p，得到明文m。

代入已知信息进行计算：
1. c1^x mod p = 7^6 mod 17 = 8 (mod 17)。
2. (c1^x)^-1 mod p = 8^-1 mod 17 = 15 (mod 17)。其中^-1表示求逆元。
3. (c1^x)^-1 × c2 mod p = 15 × 6 mod 17 = 90 (mod 17) = 4。

因此，明文m为4。

最终答案为明文m=4。

### 回答3：
在ElGamal密码系统中，Alice和Bob之间通过Bob的公钥y=15来进行加密和解密通信。

已知Bob的私钥x=6，公钥y=15，Alice发送的密文是(7,6)。

根据ElGamal密码系统的加密过程，Alice使用Bob的公钥进行加密，首先选择一个随机数k，这里假设k=7。然后计算C1和C2：

C1 = g^k mod p = 3^7 mod 17 = 9 (mod 17)
C2 = (m * y^k) mod p = (m * 15^7) mod 17 = 6 (mod 17)

由已知的密文(7,6)，我们希望找到对应的明文m。

根据解密过程，Bob需要使用自己的私钥x=6来解密。首先计算k的模反元素k_inv：

k_inv = k^(-1) mod (p-1) = 7^(-1) mod 16 = 15 (mod 16)

然后计算明文m：

m = (C2 * (C1^(-x))) mod p = (6 * (9^(-6))) mod 17

由于C1=9，将其代入上式继续计算：

m = (6 * (9^(-6))) mod 17 = (6 * 13) mod 17 = 12 (mod 17)

因此，明文m的值为12。

总结：根据已知的密文(7,6)和Bob的私钥x=6，我们通过ElGamal密码系统的解密过程计算出明文m的值为12。