在ElGamal系统中, α=7, p=13, xa=5, xb=3. a) 假定A加密传送m=3给B，随机选择k=8，密文是什么?

在 ElGamal 系统中，公钥为 $(p, \alpha, \beta)$，私钥为 $x$。其中，$p$ 是一个大素数，$\alpha$ 是模 $p$ 的原根，$\beta = \alpha^x \bmod p$ 是公钥。在这个系统中，如果 A 想要向 B 发送一条消息 $m$，则可以执行以下步骤：

1. A 选择一个随机数 $k$，$1 \leq k \leq p-2$。
2. A 计算 $C_1 = \alpha^k \bmod p$ 和 $C_2 = m \cdot \beta^k \bmod p$。
3. A 将密文 $(C_1, C_2)$ 发送给 B。

B 收到密文 $(C_1, C_2)$ 后，可以执行以下步骤来解密：

1. B 计算 $M = C_2 \cdot (C_1^x)^{-1} \bmod p$。
2. 解密后的明文为 $m = M$。

现在，根据题目中的参数，我们可以计算出：

- 公钥：$(p, \alpha, \beta) = (13, 7, 11)$。
- 私钥：$x = 3$。

现在，A 想要向 B 发送 $m = 3$。A 选择一个随机数 $k = 8$，然后计算：

$$
\begin{aligned}
C_1 &= \alpha^k \bmod p = 7^8 \bmod 13 = 3 \\
C_2 &= m \cdot \beta^k \bmod p = 3 \cdot 11^8 \bmod 13 = 9
\end{aligned}
$$

因此，密文为 $(C_1, C_2) = (3, 9)$。A 将密文发送给 B，B 收到密文后，计算：

$$
\begin{aligned}
M &= C_2 \cdot (C_1^x)^{-1} \bmod p \\
&= 9 \cdot (3^3)^{-1} \bmod 13 \\
&= 9 \cdot 5 \bmod 13 \\
&= 11
\end{aligned}
$$

因此，解密后的明文为 $m = 11$。