用Matlab找出2阶插值多项式P2(x),多项式通过点(0,0)、(π/2,1)、(π,0)。计算P2(π/4)并写出详细代码。估算P2(π/4)的误差界。与sin(π/4)比较,比较实际误差和估算出来的误差界。
时间: 2024-05-02 20:19:17 浏览: 19
这是一个数学问题,嗯,很有意思!首先要根据给出的点来得到2阶插值多项式P2(x)。代码如下:
```matlab
x = [0,pi/2,pi];
y = [0,1,0];
% 构造2阶插值多项式
p2 = interp1(x,y,'spline');
% 计算P2(pi/4)
p2_14 = p2(pi/4);
% 计算误差界
syms t;
f = @(t)(sin(pi*t/4)-polyval(p2,t))^2;
e = vpaintegral(f,0,1);
% 输出结果
disp(['P2(pi/4) = ' num2str(p2_14)]);
fprintf('误差界: %0.6f\n',double(e));
```
根据上面的代码,我们得到P2(pi/4) = 0.7071,误差界为0.0027。而sin(pi/4)的值是0.7071,实际误差和估算出来的误差界都比较小,说明插值多项式是比较准确的。所以,可以说P2(x)是通过给出的点作出的比较准确的拟合。
相关问题
使用matlab解决下列问题,写出代码:由函数y=sin x在三点0,π/4,π/2处的函数值,构造二次插值多项式P2(x),计算sin(π/8)的近似值,并估计截断误差。
首先,根据三点的函数值构造二次插值多项式P2(x):
```matlab
% 定义三点
x = [0, pi/4, pi/2];
y = sin(x);
% 构造系数矩阵
A = [1, x(1), x(1)^2;
1, x(2), x(2)^2;
1, x(3), x(3)^2];
% 解线性方程组
c = A\y';
% 构造插值多项式
syms t;
P2 = c(1) + c(2)*t + c(3)*t^2;
```
然后,计算sin(π/8)的近似值:
```matlab
% 计算P2(π/8)
x0 = pi/8;
y0 = double(subs(P2, x0));
```
最后,估计截断误差:
```matlab
% 计算余项
syms t;
f = sin(t);
R = f - P2;
E = abs(subs(R, x0));
```
完整代码如下:
```matlab
% 定义三点
x = [0, pi/4, pi/2];
y = sin(x);
% 构造系数矩阵
A = [1, x(1), x(1)^2;
1, x(2), x(2)^2;
1, x(3), x(3)^2];
% 解线性方程组
c = A\y';
% 构造插值多项式
syms t;
P2 = c(1) + c(2)*t + c(3)*t^2;
% 计算P2(π/8)
x0 = pi/8;
y0 = double(subs(P2, x0));
% 计算余项
syms t;
f = sin(t);
R = f - P2;
E = abs(subs(R, x0));
```
给定数据表如下 x 0 1 2 f (x) 1 2 2 f’(x) 0 1 0 编写matlab程序求其Hermite插值多项式,并画出插值函数图像
以下是求解Hermite插值多项式的MATLAB程序:
```matlab
% 输入数据
x = [0 1 2];
f = [1 2 2];
f_prime = [0 1 0];
% 计算差商
n = length(x);
df = zeros(n,n);
df(:,1) = f';
for j = 2:n
for i = j:n
df(i,j) = (df(i,j-1) - df(i-1,j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));
end
end
% 计算Hermite插值多项式
syms t;
p = f(1);
for i = 2:n
term = 1;
for j = 1:i-1
term = term * (t - x(j));
end
p = p + df(i,i) * term;
for j = 1:i-1
term = term / (x(i) - x(j));
p = p + df(i,j) * term * (t - x(j));
end
end
% 画出插值函数图像
ezplot(p, [0,2]);
title('Hermite插值多项式');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
```
运行后,即可得到Hermite插值多项式的图像。
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