蒙哥马利算法乘法的python实现

蒙哥马利算法是一种快速计算模幂运算的算法，常见于密码学中。以下是一个简单的 Python 实现：

def montgomery_multiply(a, b, n, r):
    # 计算 t = a * b * r'
    t = a * b
    t = t % r
    t = (t * n) % r

    # 计算 u = (t + a * b) / r
    u = (t + a * b) // r

    # 如果 u >= n，则返回 u - n；否则返回 u
    if u >= n:
        return u - n
    else:
        return u

def montgomery_powmod(base, exponent, modulus):
    # 计算 r
    r = 1
    while r < modulus:
        r <<= 1

    # 计算 r'
    r_inv = pow(r, -1, modulus)

    # 计算 n'
    n_inv = pow(r % modulus, -1, modulus)

    # 将 base 转换为 Montogomery 格式
    x = (base * r) % modulus

    # 将 exponent 转换为二进制表示
    bits = bin(exponent)[2:]

    # 计算 x^exponent
    y = r
    for bit in bits:
        y = montgomery_multiply(y, y, modulus, r)
        if bit == '1':
            y = montgomery_multiply(x, y, modulus, r)

    # 将 y 转换回普通格式
    return montgomery_multiply(y, 1, modulus, r_inv)

其中，`montgomery_multiply(a, b, n, r)` 函数用于计算 Montogomery 乘法，`montgomery_powmod(base, exponent, modulus)` 函数用于计算 Montogomery 幂，即 $base^{exponent} \bmod modulus$。