沿轴高斯光模型 公式推导

沿轴高斯光模型 (Gaussian along axis model) 是一种用于描述光传输过程的模型，它假设光在沿轴方向上的强度分布符合高斯分布。下面是该模型的公式推导过程：

假设某一点上的入射光强度为 I，该点距离轴线的距离为 r，沿轴方向的距离为 z。那么在距离 z 处，光的强度分布可以表示为：

$$
I(z) = I_0 \cdot \exp(-r^2/w^2(z))
$$

其中，$I_0$ 是入射光的强度，$w(z)$ 是沿轴方向上的光束半径。根据高斯光束的定义，光束半径随着距离 z 的增加而增加，且符合以下公式：

$$
w(z) = w_0 \cdot \sqrt{1+(z/z_R)^2}
$$

其中，$w_0$ 是光束半径在轴上的初始值，$z_R$ 是 Rayleigh 范围，表示光束半径增加到 $\sqrt{2}$ 倍时沿轴方向的传播距离。将上述公式代入前面的式子得到：

$$
I(z) = I_0 \cdot \exp(-2r^2/(w_0^2(1+(z/z_R)^2)))
$$

这就是沿轴高斯光模型的公式。

相关问题

扩展卡尔曼滤波公式推导

卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的递归滤波器。它通过结合系统动态模型和观测数据来提供对状态的最优估计。下面是卡尔曼滤波的公式推导过程：

1. 系统模型：
状态方程：x_k = F_k * x_{k-1} + B_k * u_k + w_k
观测方程：z_k = H_k * x_k + v_k

其中，x_k表示系统在时间步k时的状态向量，u_k表示控制输入，z_k表示观测向量。

F_k是状态转移矩阵，描述系统状态从时间步k-1到时间步k的演化关系。
B_k是控制输入矩阵，描述控制输入对系统状态的影响。
w_k是系统过程噪声，假设其均值为0，协方差矩阵为Q_k。

H_k是观测矩阵，描述观测向量与系统状态之间的关系。
v_k是观测噪声，假设其均值为0，协方差矩阵为R_k。

2. 预测步骤（时间更新）：
根据上一时刻的状态估计x_{k-1}和控制输入u_{k-1}，通过状态转移矩阵F_k和控制输入矩阵B_k进行状态预测：
x_{k}^- = F_k * x_{k-1} + B_k * u_{k-1}

同时，计算预测误差协方差矩阵P_{k}^-：
P_{k}^- = F_k * P_{k-1} * F_k^T + Q_k

3. 更新步骤（测量更新）：
根据当前观测向量z_k，通过观测矩阵H_k对预测状态进行观测估计：
y_k = z_k - H_k * x_{k}^-

计算观测残差协方差矩阵S_k：
S_k = H_k * P_{k}^- * H_k^T + R_k

计算卡尔曼增益K_k：
K_k = P_{k}^- * H_k^T * S_k^{-1}

更新状态估计值：
x_{k} = x_{k}^- + K_k * y_k

更新误差协方差矩阵：
P_{k} = (I - K_k * H_k) * P_{k}^-

其中，^-表示预测值，而没有^-表示更新值。

以上就是卡尔曼滤波的公式推导过程。通过递归地进行预测和更新步骤，卡尔曼滤波能够对系统状态进行最优估计。请注意，以上推导过程是基于线性系统和高斯噪声的情况，对于非线性系统还需要进行扩展，例如使用扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter）或无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter）等方法。

强跟踪卡尔曼滤波公式推导

强跟踪卡尔曼滤波（Strong Tracking Kalman Filter）是一种改进的卡尔曼滤波算法，它可以更好地处理非线性和非高斯的系统模型。其公式推导如下：

1. 状态预测：
$$\hat{x}_{k|k-1} = f(\hat{x}_{k-1|k-1})$$
$$P_{k|k-1} = F_{k-1}P_{k-1|k-1}F_{k-1}^T + Q_{k-1}$$

2. 测量更新：
$$K_k = P_{k|k-1}H_k^T(H_kP_{k|k-1}H_k^T + R_k)^{-1}$$
$$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k(z_k - h(\hat{x}_{k|k-1}))$$
$$P_{k|k} = (I - K_kH_k)P_{k|k-1}$$

3. 强制更新：
$$\hat{x}_{k|k} = f(\hat{x}_{k|k})$$
$$P_{k|k} = F_kP_{k|k}F_k^T + Q_k$$

其中，$f$是状态转移函数，$h$是测量函数，$F_k$是状态转移矩阵，$H_k$是测量矩阵，$Q_k$是过程噪声协方差矩阵，$R_k$是测量噪声协方差矩阵，$\hat{x}_{k|k-1}$是在时刻$k-1$时对状态的最优估计，$P_{k|k-1}$是在时刻$k-1$时对状态估计的协方差矩阵，$\hat{x}_{k|k}$是在时刻$k$时对状态的最优估计，$P_{k|k}$是在时刻$k$时对状态估计的协方差矩阵，$z_k$是在时刻$k$时的测量值。