计算\ln_{(1+i)}{i} 的值

首先，我们可以使用复数的指数形式表示 $i$：

$$i = e^{i\frac{\pi}{2}}$$

然后，我们可以使用对数的性质将 $\ln_{(1+i)}{i}$ 转化为 $\ln{(1+i)}$ 和 $\ln{i}$ 的形式：

$$\ln_{(1+i)}{i} = \frac{\ln{i}}{\ln{(1+i)}}$$

接下来，我们分别计算 $\ln{(1+i)}$ 和 $\ln{i}$ 的值。

首先，计算 $\ln{(1+i)}$：

$$\ln{(1+i)} = \ln{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}} = \ln{\sqrt{2}} + i\frac{\pi}{4}$$

然后，计算 $\ln{i}$：

$$\ln{i} = \ln{e^{i\frac{\pi}{2}}} = i\frac{\pi}{2}$$

将以上结果代入原式，得到：

$$\ln_{(1+i)}{i} = \frac{i\frac{\pi}{2}}{\ln{\sqrt{2}} + i\frac{\pi}{4}} = \frac{i\frac{\pi}{2}(\ln{\sqrt{2}} - i\frac{\pi}{4})}{(\ln{\sqrt{2}})^2 + (\frac{\pi}{4})^2} = \frac{\pi}{4}\frac{1+i}{\ln{\sqrt{2}} + i\frac{\pi}{4}}$$

化简得到：

$$\ln_{(1+i)}{i} = \frac{\pi}{4}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}i$$

因此，$\ln_{(1+i)}{i}$ 的值为 $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}i$。