NR算法估计逻辑回归参数

NR算法是牛顿-拉夫森方法的一种实现，用于估计逻辑回归模型的参数。其基本思想是在每次迭代中，利用当前参数估计值的二阶导数信息，来更新参数估计值，从而逐步优化模型。

具体步骤如下：

1.初始化参数估计值，通常可以使用最大似然估计方法进行初始化。

2.计算当前参数估计值的一阶导数（梯度）和二阶导数（海森矩阵）。

3.利用海森矩阵和梯度向量，求解牛顿方程，得到参数估计值的更新量。

4.更新参数估计值，并计算新的一阶导数和二阶导数。

5.重复步骤3和4，直到收敛。

在逻辑回归模型中，一阶导数和二阶导数可以直接计算，具体计算方法如下：

一阶导数：

$$ \frac{\partial L(\beta)}{\partial \beta_i} = \sum_{j=1}^n(y_j - p_j)x_{ij} $$

其中，$L(\beta)$是逻辑回归的对数似然函数，$\beta$是参数向量，$y_j$是第$j$个样本的标签，$p_j$是预测为正例的概率，$x_{ij}$是第$j$个样本的第$i$个特征。

二阶导数：

$$ \frac{\partial^2 L(\beta)}{\partial \beta_i \partial \beta_j} = -\sum_{k=1}^n p_k(1-p_k)x_{ik}x_{jk} $$

其中，$p_k$是第$k$个样本预测为正例的概率，$x_{ik}$和$x_{jk}$是第$k$个样本的第$i$个和第$j$个特征。

牛顿方程：

$$ \beta^{(t+1)} = \beta^{(t)} - (\nabla^2 L(\beta^{(t)}))^{-1}\nabla L(\beta^{(t)}) $$

其中，$\beta^{(t)}$是第$t$次迭代的参数估计值，$\nabla L(\beta^{(t)})$是$L(\beta)$在$\beta^{(t)}$处的一阶导数，$\nabla^2 L(\beta^{(t)})$是$L(\beta)$在$\beta^{(t)}$处的二阶导数。

NR算法的优点是收敛速度快，但也有一些缺点，比如需要计算海森矩阵和其逆矩阵，计算量较大，同时在某些情况下可能会发生不收敛或收敛到非最优解的情况。