计算$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$。

将$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$化简一下：

$\frac{2-\sqrt{3}}{4} = \frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

因此，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$。

相关问题

计算$$ \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2+x^2} $$

要计算$$ \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}} $$

可以使用代换法，令$y=\frac{dx}{d\theta}$，则$\frac{d^2x}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d\theta}{dx}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{1}{y}$，因此原积分可表示为

$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}}=\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y d\theta}{2\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{1}{y}}=\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta$$

接下来可以使用分部积分法计算积分。令$u=y$，$dv=\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}d\theta$，则$du=dy$，$v=\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$，于是有

$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta = \frac{y^2}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]_0^{\sqrt{3}a}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}a} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 d\theta$$

注意到$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{y}{dx/d\theta}$，因此

$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=\left(\frac{y}{dx/d\theta}\right)^2=\left(\frac{y}{\frac{dx}{d\theta}}\right)^2=y^2$$

代入上式得

$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta = \frac{y^2}{4}\Big|_0^{\sqrt{3}a} -\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}a} y^2 d\theta=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$$

因此，$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}}=\frac{a^2}{4}$$

将第一部分 选择题 1. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. $y=x^2+3$ B. $y=""sin(x)$ C. $y=2x$ D. $y=e^x$ 2. 函数 $f(x)=""begin{cases} x+1, & x""leq -1 """" x^2, & x>-1 ""end{cases}$ 在 $x=-1$ 处（ ） A. 连续但不可导 B. 不连续且不可导 C. 连续且可导 D. 不连续但可导 3. 数列 $""{a_n""}$ 满足 $a_n=(-1)^n""frac{n}{n+1}$，则 $""{a_n""}$ 的极限是（ ） A. $-""frac{1}{2}$ B. $""frac{1}{2}$ C. $1$ D. 不存在 4. 函数 $f(x)=""cos(x^2)$ 的导数是（ ） A. $-""sin(x^2)$ B. $-2x""sin(x^2)$ C. $2x""sin(x^2)$ D. $""sin(x^2)$ 5. 若 $""int_1^2 f(x)dx=3$，$""int_2^3 f(x)dx=-2$，则 $""int_1^3 f(x)dx$ 等于（ ） A. $-5$ B. $5$ C. $-1$ D. $1$ ## 第二部分 简答题 1. 说明函数的单调性判别法。 2. 怎样求函数的极值和最值？ 3. 推导积分上限的函数的导数公式。 4. 如何利用定积分计算平面图形的面积？ ## 第三部分 计算题 1. 求函数 $y=""sqrt{x^2+1}$ 的导数。 2. 计算 $""lim_{x""to 0}""frac{""sin(2x)}{""sqrt{1+x}-1}$。 3. 求 $""int x""ln x dx$。 4. 计算曲线 $y=x^2$ 在 $x""in[0,1]$ 上围成的图形的面积。 ## 参考答案 ### 选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. A ### 简答题 1. 单调上升的充分必要条件是 $f'(x)>0$，单调下降的充分必要条件是 $f'(x)<0$。 2. 求极值的步骤： 1. 求出导数 $f'(x)$。 2. 解方程 $f'(x)=0$，得到可能的极值点。 3. 利用二阶导数 $f''(x)$ 判断每个可能的极值点是极大值、极小值还是不是极值。 4. 比较所有可能的极值点得到最大值和最小值。 3. 设 $F(x)=""int_a^x f(t)dt$，则 $F'(x)=f(x)$。 4. 曲线 $y=x^2$ 在 $x""in[0,1]$ 上围成的图形的面积为 $""int_0^1 x^2 dx=""frac{1}{3}$。 ### 计算题 1. $y'=""frac{x}{""sqrt{x^2+1}}$ 2. $2$ 3. $""frac{1}{2}x^2(""ln x-""frac{1}{2})+C$ 4. $""frac{1}{3}$翻译成Markdown

1. 选B。因为奇函数的定义是$f(-x)=-f(x)$，而只有正弦函数满足这个条件。
2. 选D。因为当$x\leq1$时，$f(x)=x^2$，当$x>1$时，$f(x)=2x-1$，而$e^x$是一个连续函数，可以表示这个分段函数。