用近似的实数表示\frac{1}{2} \sqrt{360001} + \frac{1}{4a} \ln\left|\sqrt{360001}+600a\right|

首先，我们可以把 $\frac{1}{2}\sqrt{360001}$ 化简一下：

$$\frac{1}{2}\sqrt{360001} = \frac{1}{2}\sqrt{360000 + 1} = \frac{1}{2}\sqrt{36 \times 10000 + 1}.$$

这里我们可以发现，$360000$ 可以被开方，而 $1$ 是个很小的数，所以我们可以尝试用泰勒展开来近似计算。

设 $f(x) = \sqrt{x}$，那么：

$$f(360001) = f(360000 + 1) \approx f(360000) + f'(360000) \times 1 = 600 + \frac{1}{2\sqrt{360000}} = 600 + \frac{1}{120\sqrt{10}}.$$

所以，

$$\frac{1}{2}\sqrt{360001} \approx 300 + \frac{1}{240\sqrt{10}}.$$

接下来，考虑 $\frac{1}{4a}\ln\left|\sqrt{360001}600a\right|$。由于 $|\sqrt{360001}600a|$ 可能很大，我们可以把它写成 $e^{\ln|\sqrt{360001}600a|}$ 的形式：

$$\frac{1}{4a}\ln\left|\sqrt{360001}600a\right| = \frac{1}{4a}\ln\left(e^{\ln|\sqrt{360001}600a|}\right) = \frac{\ln|\sqrt{360001}600a|}{4a}.$$

现在我们需要近似计算 $\ln|\sqrt{360001}600a|$。同样利用泰勒展开，设 $g(x) = \ln|x|$，那么：

$$g(\sqrt{360001}600a) \approx g(600\sqrt{600}) + g'(600\sqrt{600}) \times (\sqrt{360001}600a - 600\sqrt{600}) = 5.129 + \frac{1}{600\sqrt{600}} \times (\sqrt{360001}600a - 600\sqrt{600}).$$

所以，

$$\ln|\sqrt{360001}600a| \approx 5.129 + \frac{1}{600\sqrt{600}} \times (\sqrt{360001}600a - 600\sqrt{600}).$$

把这个结果代入原式，得到：

$$\frac{1}{4a}\ln\left|\sqrt{360001}600a\right| \approx \frac{5.129}{4a} + \frac{1}{2400a\sqrt{600}} \times (\sqrt{360001}a - \sqrt{6}).$$

综上所述，

$$\frac{1}{2}\sqrt{360001} \approx 300 + \frac{1}{240\sqrt{10}}, \quad \frac{1}{4a}\ln\left|\sqrt{360001}600a\right| \approx \frac{5.129}{4a} + \frac{1}{2400a\sqrt{600}} \times (\sqrt{360001}a - \sqrt{6}).$$

注意到这里的近似都是一阶泰勒展开，所以只有在 $a$ 很小的时候才能得到较为准确的结果。