$\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}$
时间: 2023-11-01 09:44:20 浏览: 46
这是一个比较经典的题目,可以用反三角函数或者变量代换的方法来解决。
方法一:反三角函数
我们知道,$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$,因此原式可以转化为:
$$
\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx = \left[\arctan x\right]_{-1}^1 = \arctan 1 - \arctan (-1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi
$$
方法二:变量代换
我们可以做一个变量代换,令 $x = \tan t$,则有 $dx = \sec^2 t dt$,原式可以变为:
$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx &= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^2 t}\sec^2 t dt \\
&= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} dt \\
&= \left[t\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$
因此,$\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2} = \pi$ 或者 $\frac{\pi}{2}$。
相关问题
计算$$ \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2+x^2} $$
要计算$$ \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}} $$
可以使用代换法,令$y=\frac{dx}{d\theta}$,则$\frac{d^2x}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d\theta}{dx}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{1}{y}$,因此原积分可表示为
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}}=\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y d\theta}{2\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{1}{y}}=\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta$$
接下来可以使用分部积分法计算积分。令$u=y$,$dv=\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}d\theta$,则$du=dy$,$v=\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$,于是有
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta = \frac{y^2}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]_0^{\sqrt{3}a}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}a} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 d\theta$$
注意到$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{y}{dx/d\theta}$,因此
$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=\left(\frac{y}{dx/d\theta}\right)^2=\left(\frac{y}{\frac{dx}{d\theta}}\right)^2=y^2$$
代入上式得
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta = \frac{y^2}{4}\Big|_0^{\sqrt{3}a} -\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}a} y^2 d\theta=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$$
因此,$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}}=\frac{a^2}{4}$$
∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx交换积分次序
首先,我们需要画出积分区域的示意图:
![integral_region](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ed4epgkm.png)
可以看出,积分区域为一个梯形区域,上底为 $y=1$,下底为 $y=x$,左侧边界为 $x=0$,右侧边界为 $x=y$。
接下来,我们可以根据积分区域重新设定积分限:
$$\int_0^1\int_1^y(e^{-x^2}+e^x\sin x)dx dy=\int_0^1\int_x^1(e^{-x^2}+e^x\sin x)dy dx$$
这里我们需要注意一下新的积分限的变化,$y$ 的下限变成了 $x$,上限变成了 $1$。
现在,我们可以按照新的积分顺序进行计算:
$$\int_0^1\int_x^1(e^{-x^2}+e^x\sin x)dy dx=\int_0^1\left[y\bigg|_x^1\cdot(e^{-x^2}+e^x\sin x)\right]dx=\int_0^1(e^{-x^2}+e^x\sin x-xe^{-x^2})dx$$
这里我们使用了分部积分法来计算 $xe^{-x^2}$ 的积分。最终的结果为:
$$\int_0^1(e^{-x^2}+e^x\sin x-xe^{-x^2})dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}+\frac{1}{2}\cos 1-\frac{1}{2}e^{-1}$$
因此,原式的结果为 $\frac{\sqrt{\pi}}{4}+\frac{1}{2}\cos 1-\frac{1}{2}e^{-1}$。