证明:当0<x<1时,x-x^2<sin x<x
时间: 2023-08-31 16:50:34 浏览: 127
当 $0<x<1$ 时,考虑将不等式 $x - x^2 < \sin x < x$ 两边求导。
首先,$x - x^2$ 的导数为 $1 - 2x$,$\sin x$ 的导数为 $\cos x$,$x$ 的导数为 $1$。因为 $0 < x < 1$,所以 $1 - 2x < 1$,$\cos x < 1$,$1 > 0$。
因此,$1 - 2x < \cos x < 1$,即 $1 < \cos x + 2x < 3$。
因为 $\cos x + 2x$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增,所以 $\cos x + 2x > 1$。
又因为 $\cos x + 2x < 3$,所以 $\cos x + 2x - 1 < 2$。
因此,$\cos x + 2x - 1$ 的值介于 $1$ 和 $2$ 之间。
接下来,我们证明 $x - x^2 < \sin x$。
由于 $\cos x < 1$,所以 $\sin x = \int_0^x \cos t dt > \int_0^x dt = x$。
同时,$x - x^2 = x(1-x) < x \sin x$,因为 $0 < x < 1$,所以 $1-x > 0$,$\sin x > 0$。
因此,$x - x^2 < \sin x$。
最后,我们证明 $\sin x < x$。
因为 $\sin x$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增,所以 $\sin x < \sin 1 < \frac{\pi}{2}$。
因为 $\frac{\pi}{2} > 1$,所以 $\sin 1 < 1$。
因此,$\sin x < x$。
因此,当 $0 < x < 1$ 时,$x - x^2 < \sin x < x$。