化简：\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{sqrt{2\pi}}

首先，我们可以将 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 翻转为 $\sqrt{2\pi}$ 的倒数，然后将两个分数相乘，得到：
$$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2\pi}$$
这就是化简后的结果。

相关问题

化简： \frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}

首先，将分母中的 $e$ 内部的指数式展开并进行化简：
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{\frac{1}{2}r^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}$$
然后将原式中的分子和分母都乘以 $2\sqrt{2\pi}$，得到：
$$\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2\pi} e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\sqrt{2\pi} e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-|r|}}$$
因为 $|r|=-r$ 当 $r<0$，$|r|=r$ 当 $r\geq0$，所以可以将分母中的指数式进行分段讨论，得到：
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-|r|}}=\begin{cases}
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2+r}}, & r<0 \\
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-r}}, & r\geq0
\end{cases}$$
继续进行化简，得到：
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2+r}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2} \cdot e^r}=\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}(r+1)^2-\frac{1}{2}}}$$
$$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}r^2-r}}=\frac{\sqrt{2}}{e^{-\frac{1}{2}(r-1)^2+\frac{1}{2}}}$$
因此，原式化简后为：
$$\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=\begin{cases}
\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}(r+1)^2-\frac{1}{2}}}, & r<0 \\
\frac{\sqrt{2}}{e^{-\frac{1}{2}(r-1)^2+\frac{1}{2}}}, & r\geq0
\end{cases}$$

化简：\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}=

首先，我们可以将分母中的指数部分写成平方的形式：
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-\mu)^2} \cdot e^{-\frac{1}{2}\mu^2}$$
其中，$\mu=0$。这一步是为了方便下面的计算。

接着，我们将分子与分母中的指数部分相减，并且利用指数函数的性质，得到：
$$\begin{aligned}\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}}&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-\mu)^2}\cdot e^{-\frac{1}{2}\mu^2}}\\
&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-\mu)^2}}\cdot e^{\frac{1}{2}\mu^2}\\
&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(r-0)^2}}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0^2}\\
&=\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}r^2}}\end{aligned}$$

因此，化简结果为 $\frac{\frac{1}{2}e^{-|r|}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}r^2}} = 1/2$。