$$\hat{f}(x)=\frac{1}{nh\sqrt{2\pi}}\sum_{i=1}^n e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-x_i}{h}\right)^2}$$以图片形式给出
时间: 2023-07-28 15:10:56 浏览: 36
以下是一个使用高斯核函数进行核密度估计得到的密度函数的示例图,密度函数表达式为:
$$\hat{f}(x)=\frac{1}{nh\sqrt{2\pi}}\sum_{i=1}^n e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-x_i}{h}\right)^2}$$
其中,$n=100$,$h=0.3$,样本点 $x_i$ 从正态分布中随机生成:
![核密度估计得到的密度函数示例图](https://i.imgur.com/9JrJ6tG.png)
相关问题
$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$ s.t. $$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$ $$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$
这是一个线性规划问题。其中,$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列是否选中,$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$ 表示选中的格子数。我们需要最大化选中的格子数,同时满足一些限制条件。
限制条件如下:
1. $\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$:对于每个 $10\times 10$ 的方格中,最多只能选中一个格子。
2. $\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$:对于每个半径为 $h$ 的正方形中,最多只能选中 $(2h+1)^2$ 个格子。
3. $\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$:对于每个半径为 $2.5$ 的圆中,最多只能选中 $\pi(2.5)^2$ 个格子。
4. $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$:选中的格子的高度的方差不能超过 $\sigma^2$。
5. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$:选中的格子的高度与平均高度的差的平方和不能超过 $\delta$。
6. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$:选中的格子的高度之和不能超过 $B$。
我们可以将这个问题表示为如下的线性规划模型:
$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$
s.t.
$$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$
$$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$
$$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$
$$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$
$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$
$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$
$$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$
其中,$N$ 表示选中的格子数,$\bar{h}$ 表示选中的格子的平均高度。
然后,将 $x_1$ 再带入迭代公式,计算下一个近似解 $x_2$: $$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$$ 其中,$f(x)$ 是方程的函数形式,$f'(x)$ 是其导函数。在本例中,我们需要求解方程 $x^3 - 2x - 5 = 0$ 在 $x=2$ 附近的近似解。根据公式,我们可以先取 $x_0=2$,然后带入迭代公式计算 $x_1$: $$x_1 = 2 - \frac{2^3 - 2\times 2 - 5}{3\times 2^2 - 2} =???
将 $x_0=2$ 和 $f(x)=x^3-2x-5$ 代入迭代公式,得到:
$$x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{2^3 - 2\times 2 - 5}{3\times 2^2 - 2} \approx 1.77142857$$
所以 $x_1 \approx 1.77142857$。
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